큰 수의 법칙: 카지노가 이기는 이유

"큰 수의 법칙은 다음 한 번을 예측하지 않아. 같은 과정을 오래 반복할 때 평균이 기대값에 가까워지는 조건을 말해."

가장 익숙한 형태

같은 분포에서 독립적으로 뽑은 확률변수들이 유한한 기대값 μ를 가지면, 표본평균은 표본 수가 커질수록 μ에 가까워져.

(X₁ + X₂ + ... + Xₙ) / n → μ n → ∞ 일 때

공정한 동전을 많이 던지면 앞면의 비율이 0.5에 가까워진다는 것이 대표 사례야. 정확히 절반이 된다는 보장은 아니고, 허용오차 밖에 있을 확률이 작아지는 거야. 더 일반적인 LLN은 독립·동일분포보다 약한 조건에서도 성립할 수 있어.

LLN이 말하지 않는 것

다음 결과가 최근 결과를 보상한다고 말하지 않아.
희귀사건이 사라진다고 말하지 않아.
개별 관측값의 변동성이 줄어든다고 말하지 않아.
원자료의 분포가 정규분포로 바뀐다고 말하지 않아.

룰렛에서 빨강이 연속으로 나왔다는 이유만으로 다음에 검정이 더 유력해지는 것은 아니야. 각 회전이 독립이라는 모형이 맞다면 과거 결과는 다음 확률을 바꾸지 않아. 장기 비율의 수렴과 다음 한 번의 예측을 섞는 것이 도박사의 오류야.

카지노의 장기 평균

표준적인 카지노 게임 규칙은 보통 하우스가 양의 기대수익을 갖도록 설계돼. 유럽식 단일 0 룰렛의 하우스 엣지는 약 2.7%고, 블랙잭은 규칙과 플레이 전략에 따라 값이 크게 달라져. 카지노는 많은 고객과 판을 통해 평균수익이 기대값에 가까워지는 효과를 이용해.

그렇다고 손실이 불가능하거나 누적수익이 기대값과 절대적으로 같아지는 것은 아니야. 판 수가 늘면 판당 평균의 불확실성은 줄지만 누적손익의 절대 변동폭은 커질 수 있어. 자본, 베팅 한도, 게임 간 의존성, 규칙 변화도 실제 위험에 영향을 줘.

운영 원칙

반복 전략의 장기 평균을 말하려면 기대값뿐 아니라 동일한 과정이 유지되는지, 관측이 얼마나 의존하는지, 손실을 견딜 자본이 있는지 확인해. 양의 기대값이라는 말만으로 특정 거래전략의 이익이나 파산 회피가 보장되지는 않아.

Code

음의 EV 베팅의 누적 결과·python

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(33)

# 2.7% 하우스 edge 로 룰렛 플레이하는 단일 '도박사' 시뮬.
# 베팅당 순 결과: +1 (확률 18/37), -1 (확률 19/37).
# 베팅당 기댓값 ≈ -0.027.
def play(n_bets):
    spins = rng.random(n_bets) < 18/37   # 이김 또는 짐
    return np.where(spins, 1, -1).cumsum()

for n in (100, 10_000, 1_000_000):
    final_position = play(n)[-1]
    expected = -0.027 * n
    print(f"{n:>9,} 베팅 후: 실현 = {final_position:>+9}   "
          f"기댓값 ≈ {expected:>+9.0f}")

# 작은 N: 도박사가 이기거나 지는 중 — 순 노이즈.
# 큰 N: 실현 결과가 기댓값으로 수렴: 거의 확실한 손실.
# 카지노는 모든 베팅의 반대편에서 역방향을 누적.
# 이게 LLN: 장기 평균이 단기 노이즈를 지배.

Exercise

반복되는 일상 결정 하나를 골라 결과변수와 기대값을 정의해. 시행들이 같은 분포인지, 서로 의존하는지, 극단손실이나 중도중단이 있는지 적고, 평균이 안정되는 속도를 시뮬레이션이나 실제 기록으로 확인해.

Hint

"동전 100번이면 충분" 같은 보편 기준은 없어. 원하는 오차, 분산, 꼬리, 신뢰수준에 따라 필요한 시행 수가 달라져.

가장 익숙한 형태

LLN이 말하지 않는 것

카지노의 장기 평균

운영 원칙

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