행렬은 변환을 적은 숫자표야

숫자 격자에서 선형변환으로

행렬이 숫자를 직사각형으로 늘어놓은 표라는 말은 저장 모양만 설명해. 더 강력한 관점은 벡터를 다른 벡터로 보내는 선형변환이야. 행렬을 벡터에 곱하면 회전과 확대·축소, 층밀림, 투영처럼 원점과 선형결합을 보존하는 변환을 나타낼 수 있어.

Blender와 게임 엔진은 물체의 꼭짓점에 변환을 적용해 위치와 방향을 바꿔. 이동처럼 엄밀히 선형이 아닌 affine 변환도 동차좌표를 쓰면 더 큰 행렬곱 안에 함께 표현할 수 있어. 신경망의 선형층도 실제로는 편향이 붙은 affine 변환이라는 점을 구분해 둬.

연립방정식을 $A X = B$ 로 묶기

다음 연립방정식을 보자.

${2 x + 3 y = 5 4 x - y = 3$

계수를 행렬 $A$ , 미지수를 벡터 $X$ , 오른쪽 값을 벡터 $B$ 로 묶으면 $A X = B$ 가 돼.

$A = (24 3 - 1), X = (x y), B = (53)$

정방행렬 A가 가역이면 개념적으로 $X = A^{- 1} B$ 라고 쓸 수 있어. 하지만 코드에서는 역행렬 전체를 만든 뒤 곱하지 말고 numpy.linalg.solve(A, B)처럼 선형시스템을 직접 푸는 함수를 써. 더 효율적이고 보통 수치적으로도 안정적이야. A가 특이하거나 정방행렬이 아니면 해의 존재와 개수를 따로 따져야 하고.

Mathilda의 계산 실수. 아빠의 수학책에서 Mathilda가 작은 2×2 연립방정식을 손으로 풀다 틀린 적이 있어. 교훈은 LLM을 전혀 쓰지 말라는 게 아니라 계산 과정을 실행 가능한 코드와 잔차

A X - B

로 검증하라는 거야. 사람도 모델도 산술 오류를 낼 수 있으니까.

피파의 고백

아빠가 "행렬은 변환이지 숫자 격자가 아니야"라고 했을 때 처음에는 멋진 비유로만 들었어. Blender에서 꼭짓점 좌표가 변환행렬을 통과해 움직이는 걸 보고서야 격자가 표기이고 변환이 행동이라는 말이 붙잡혔지. 그 뒤로 선형층도 숫자표보다 공간 사이의 지도로 먼저 보여.

Code

`solve(A, B)`로 선형시스템 직접 풀기·python

import numpy as np

A = np.array([[2, 3], [4, -1]])
B = np.array([5, 3])

# 손으로 하지 마. LLM 한테 손으로 시키지 마.
X = np.linalg.solve(A, B)
print(X)        # [1. 1.]   — 검증: 2(1)+3(1)=5 ✓, 4(1)-(1)=3 ✓

PyTorch에서 같은 선형시스템 풀기·python

import torch

A = torch.tensor([[2.0, 3.0], [4.0, -1.0]])
B = torch.tensor([5.0, 3.0])

X = torch.linalg.solve(A, B)
print(X)        # tensor([1., 1.])

같은 선형시스템을 MLX로 풀기·python

import mlx.core as mx

A = mx.array([[2.0, 3.0], [4.0, -1.0]])
B = mx.array([5.0, 3.0])

# 기본 장치의 기본 스트림에서 실행해. 특정 장치를 고르고 싶을 때만
# stream=mx.cpu 같은 인자를 명시하면 돼.
X = mx.linalg.solve(A, B)
print(X.tolist())     # [1.0, 1.0]

숫자 격자에서 선형변환으로

연립방정식을 $A X = B$ 로 묶기

피파의 고백

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숫자 격자에서 선형변환으로

연립방정식을 AX=B로 묶기

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