행렬식: 행렬의 영혼

중요한 거 다 말해주는 숫자 하나

정방 행렬의 행렬식 = 행렬의 가장 중요한 속성을 인코딩하는 단일 숫자: 공간 보존하나, collapse 하나?

$det (A) \neq = 0$ → 행렬 invertible, 변환이 차원 보존, 시스템에 유일 해.
$det (A) = 0$ → 행렬 singular, 변환이 공간 collapse, 시스템 해 0개 또는 무한.
$∣ det (A) ∣$ → 변환의 부피 스케일링 인자. 행렬식 2 = 변환이 면적/부피 두 배; 0.5 = 절반.
$det (A)$ 부호 → 변환이 orientation 보존 (양수) 또는 flip (음수, 거울처럼).

손으로 절대. 절대.

2×2 는 $a d - b c$ . 가능. 3×3 은 cofactor 전개. 지루. float32 entry 의 10×10 은 수치 악몽이고 수학자도 NumPy 한테 punt. np.linalg.det(A) 가 마이크로초. 사용해.

행렬식 등장하는 곳

Invertibility 검사 — $A X = B$ 풀기 전 det(A) != 0.
기하 — 벡터 $u, v$ 정의 평행사변형 면적 = $∣ det ([u, v]) ∣$ .
안정성 분석 — 작은 행렬식 ≈ near-singular ≈ 작은 입력 변화가 큰 출력 변화 (수치 불안정).
변수 변환 미적분 — 좌표 변환 시 야코비안 행렬식이 적분 rescale.

행렬식 = 행렬의 부피-스케일링 지문. 0 = 행렬이 세상을 평평하게 짓누름. 일상 딥러닝엔 보통 안 필요 — 근데 필요할 땐 진짜 필요.

Code

행렬식 세 flavor·python

import numpy as np

A = np.array([[2, 0],
              [0, 3]])               # 스케일링: x 2배, y 3배
print(np.linalg.det(A))              # 6 — 면적 스케일링 인자

B = np.array([[1, 2],
              [2, 4]])               # 행이 스칼라배 → singular
print(np.linalg.det(B))              # 0 — 퇴화, 역행렬 X

# 두 벡터 정의 평행사변형 면적
u, v = np.array([3, 0]), np.array([1, 4])
area = abs(np.linalg.det(np.array([u, v])))
print(area)                          # 12

행렬식: 행렬의 영혼

중요한 거 다 말해주는 숫자 하나

손으로 절대. 절대.

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