단위, 역행렬, 그리고 행렬 'undo' 버튼

곱셈 단위원

스칼라: $a \cdot 1 = a$ . 1 이 단위원. 행렬: $A I = I A = A$ . 단위 행렬 $I$ — 대각 1, 그 외 0 — 같은 역할.

이건 trivia 가 아니야. 단위 행렬이 모든 "undo" 정의가 기대는 anchor.

역행렬 — 행렬 나눗셈, 비슷한 거

스칼라: $a \cdot a^{- 1} = 1$ ( $a^{- 1} = 1/ a$ ). 행렬: $A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I$ . 역행렬이 원래 변환을 "undo". 시계방향 30° 회전? $A^{- 1}$ 가 반시계 30°. 두 배? $A^{- 1}$ 가 절반.

모든 행렬이 역행렬 가지는 건 아님

두 요건:

정방. 직사각 행렬은 차원 변경, "차원 버리기" 는 완전 undo 불가.
0 아닌 행렬식. 행렬식 0 = 행렬이 공간 collapse — 여러 입력이 같은 출력 매핑, undo 불가. Singular = 역행렬 X.

Singular 또는 직사각 행렬엔 pseudoinverse ( $A^{+}$ ) 가 best-effort 일반화. Regression, least-squares 곳곳에서.

실전: 역행렬 계산하지 마

$A X = B$ 풀 때 교과서는 $X = A^{- 1} B$ . 교과서가 가르치는 건 개념, 알고리즘 X. 실전엔 np.linalg.solve(A, B) 사용, LU decomposition 활용 — $A$ 역행렬 + 곱하기보다 빠르고 수치적으로 안정.

역행렬은 개념; solve 가 구현. 추론할 땐 역행렬. 계산할 땐 solve.

Code

개념 vs 구현·python

import numpy as np

A = np.array([[2, 1],
              [1, 3]], dtype=float)

# 단위 검사
I = np.eye(2)
print(np.allclose(A @ I, A))      # True

# 역행렬 — 개념
A_inv = np.linalg.inv(A)
print(np.allclose(A @ A_inv, I))  # True (float modulo)

# 풀기 — 구현
B = np.array([5, 6])
X_via_inverse = A_inv @ B         # 교과서, 느림
X_via_solve   = np.linalg.solve(A, B)  # 실제 사용해야 할 것
print(np.allclose(X_via_inverse, X_via_solve))   # True

Exercise

입력을 2배 하는 2×2 행렬 만들어. 역행렬 찾아. 역행렬이 벡터를 절반으로 만드는지 검증. 그러고 singular 2×2 행렬 (예: 같은 행 두 개) 만들고 np.linalg.inv 시도 — 어떤 에러?

Hint

2배 행렬 = 2*np.eye(2). 역행렬 = 0.5*np.eye(2). Singular = [[1, 1], [2, 2]]. 역행렬 시도가 LinAlgError: Singular matrix 발생.

단위, 역행렬, 그리고 행렬 'undo' 버튼

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역행렬 — 행렬 나눗셈, 비슷한 거

모든 행렬이 역행렬 가지는 건 아님

실전: 역행렬 계산하지 마

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