정규분포가 자주 보이는 이유
서로 비슷한 크기의 작은 영향이 많이 더해지고 어느 하나가 결과를 지배하지 않을 때, 합이나 평균이 정규분포에 가까워지는 일이 많아. 측정 오차와 센서 잡음에 가우시안 모형을 자주 쓰는 이유도 여기에 있어. 계산이 편해서만은 아니지만, 생성 과정과 자료가 가정을 받쳐 줘야 해.
종 모양을 기본값으로 숭배하면 생기는 일
현실에는 정규분포와 다른 모양이 아주 많아.
- 소득과 부: 오른쪽 꼬리가 길고 집단과 시기에 따라 로그정규나 파레토 계열 모형이 더 잘 맞을 수 있어.
- 단어 빈도와 도시 규모: 순위와 빈도 사이에 멱법칙에 가까운 관계가 나타나곤 해.
- 금융 수익률: 정규분포보다 꼬리가 두껍고 변동성이 시간에 따라 달라져. 극단값을 정규모형만으로 재면 위험을 과소평가할 수 있어.
- 여러 집단이 섞인 자료: 봉우리가 둘 이상인 다봉분포가 될 수 있어. 평균 하나가 어느 집단도 제대로 나타내지 못해.
히스토그램과 분위수 그림을 보고, 잔차와 꼬리를 확인해. 자료가 왜 그런 모양으로 생겼는지도 물어야 해. 모형은 현실을 압축하는 도구지 현실의 명령서가 아니야.
리스크 모형의 교훈. LTCM 같은 금융 실패를 ‘정규분포 하나 때문에 무너졌다’고 단순화할 순 없어. 레버리지, 유동성, 상관관계 변화, 모형 위험이 함께 얽혔어. 그래도 꼬리가 얇은 모형에 지나치게 기대면 극단 손실을 작게 볼 수 있다는 경고는 분명해.
트랙을 닫으며
정규분포는 강력한 압축 도구야. 평균과 표준편차, 경험 규칙, z점수, 중심극한정리를 알면 자료를 훨씬 빨리 읽을 수 있어. 다만 첫 질문은 늘 같아. 이 자료와 생성 과정에 정말 종 모양 모형이 맞을까?