적분 — 개념만 (곡선 아래 면적)

미적분의 다른 절반, 또 그림만

미분은 *얼마나 빨리 변해?* 묻고. 적분은 그 반대 묻기: *"전체적으로 얼마나 있어?"*

곡선 다시 그려. 1 차 미분은 점에서의 기울기였어. 적분은 곡선 아래 면적, 두 끝점 사이. 그게 다야. 영원히. 계산 안 해. 면적만 봐.

왜 하필 면적?

그래프 상상: x 축은 시간, y 축은 차에서의 속도. 속도 높으면 분당 거리 많이 커버. 속도 낮으면 적게.

0 분에서 10 분까지 총 얼마 갔어? *속도 × 시간*. 속도가 60mph 일정하면 60 × (10/60) = 10 마일.

근데 속도가 중간에 변하면? 처음엔 느리고 나중엔 빠름. 총 거리는 여전히 *속도 × 시간*, 근데 작은 조각들 합해야 해. 각 조각은 *(그 순간의 속도) × (아주 작은 시간)*. 조각들 합해. 조각들이 무한히 얇아지면 그 합이 정밀한 숫자 — 그 숫자가 속도 곡선 아래 면적.

속도가 높이. 시간이 폭. 둘의 곱이 면적. 모든 순간에 걸친 합이 총 이동 거리. *그래서 면적이야*.

왜 이게 채권에 중요한가

채권은 시간에 걸쳐 현금흐름을 줘. 10 년 동안 6 개월마다 쿠폰, 그 다음 끝에 액면가. 각 지급은 미래에 있어. 각 미래 지급은 오늘 같은 달러보다 가치 작아 (돈의 시간 가치, 트랙 2). 채권의 *오늘* 가격은 그 모든 미래 지급의 합, 각각 오늘로 할인.

각 미래 지급의 할인된 가치를 그래프 높이로, 시간을 폭으로 그리면, 채권의 총 가치가 그 *곡선 아래 면적*. 우리는 문자 그대로 *각 미래 순간의 현재가치, 시간에 걸쳐 적분* 하는 거.

이산 쿠폰 날짜 (6 개월마다 등) 가 있는 채권엔, 그냥 일반 합. 연속 현금흐름이 있는 더 복잡한 상품엔 진짜 적분이 돼. 어느 결이든 그림은 같아: 곡선 아래 면적.

그러니까 트랙 7 의 채권 가격 — P = (시점 t 의 현금흐름) / (1+r)^t 의 합 — 이 보는 건 그냥 적분이 금융 옷 입은 거.

듀레이션 — *면적이 어디 있어?* 의 채권 버전

적분이 자연스럽게 만들어주는 채권 개념 하나 더: 듀레이션. 채권의 현금흐름 대부분이 만기 가까이 있으면 (zero-coupon 채권 — 끝에 한 번 큰 지급) 곡선 아래 면적이 오른쪽에 몰려. 채권이 일찍 큰 쿠폰 주면 면적이 왼쪽에 퍼져.

듀레이션은 대충 *면적의 무게중심이 어디 있어?*. 채권 가치가 시간상 빨리 받히면 듀레이션 작아. 늦으면 커. 듀레이션이 채권이 금리 변화에 얼마나 민감한지 결정해.

듀레이션 계산할 필요 없어. 그냥 알아 — *이 채권에서 돈을 언제 받는지의 시간 가중평균* — 적분이 그걸 표현하는 자연스러운 방식.

핵심

적분은 곡선 아래 면적. *전체적으로 얼마나 쌓았어?* 답해 — 총 거리, 총 현금, 총 면적. 금융에서 거의 어떤 결로든 시간에 걸쳐 현금흐름 합할 때 (채권 가격, DCF, 옵션 기댓값) 적분이나 그 이산 친척 (합) 하는 거. 손 계산 안 해. 그림만: 곡선 아래 면적.