위험자산만 있을 때
평균-분산 모형에서 각 포트폴리오는 기대수익률과 변동성으로 표시된다. 같은 변동성에서 기대수익률이 가장 높거나, 같은 기대수익률에서 변동성이 가장 낮은 포트폴리오의 윗경계가 효율적 투자선이다. 이 결과는 입력한 기대수익률, 변동성, 상관관계에 의존한다.
자본배분선
수익률 r_f인 무위험자산과 위험포트폴리오 P를 결합하자. P의 비중을 w라 하면 다음과 같다.
0≤w≤1이면 무위험자산과 위험자산을 섞고, w>1이면 무위험금리로 차입해 위험자산을 확대한다는 이상화다. 위험-수익률 평면에서 이 조합은 직선인 자본배분선(CAL)을 만든다.
선의 기울기는 위험포트폴리오의 사전적 샤프비율이다.
접점포트폴리오와 분리정리
무위험점에서 위험자산의 효율적 투자선에 접하는 선이 가장 가파르며, 접점의 위험포트폴리오가 주어진 입력에서 가장 높은 샤프비율을 갖는다. 동일한 기대와 동일한 무위험 차입·대출 금리를 가정하면 투자자는 접점포트폴리오와 무위험자산의 비중만 달리해 위험 선호를 표현할 수 있다. 이것이 두 펀드 분리의 핵심이다.
현실에서 깨지는 지점
- 투자자마다 기대수익률과 위험 추정이 다르다.
- 차입금리는 무위험 운용금리보다 높고 레버리지 한도가 있다.
- 세금, 거래비용, 공매도 제약, 부채와 소득위험이 다르다.
- 평균과 공분산의 추정오차가 최적 비중을 극단적으로 바꿀 수 있다.
특히 기대수익률을 조금만 바꿔도 접점 비중이 크게 달라질 수 있다. 실무에서는 제약조건, 비중 한도, 축소추정, 재표본화 등을 사용해 모형을 안정화한다.
시장포트폴리오와의 연결
CAPM의 강한 균형 가정까지 더하면 모든 투자자가 같은 접점포트폴리오를 원하고, 그 합이 시장에 존재하는 위험자산의 가치가중 포트폴리오가 된다. 이는 관찰된 시장지수가 언제나 사후 최적이라는 뜻이 아니라, 가정 아래에서 도출되는 균형 결과다.
핵심
무위험자산과 위험포트폴리오의 조합은 자본배분선을 만들고, 가장 가파른 선이 접점포트폴리오를 정한다. 두 펀드 분리는 강력한 기준이지만 동일 기대, 동일 차입·대출 금리, 안정적인 추정치라는 가정에 기대고 있다.