2008 금융 위기: *VaR 의 정규 가정이 현실을 만났을 때*

"2008 금융 위기는 *전체 산업이 *정규분포된 자산 수익률 가정 위에 세워진 위험 지표 (VaR) 를 채택했을 때 일어나는 일에 대한 10조 달러 이상 교훈*."

설정

*2000년대 중반에, *Value-at-Risk (VaR) 가 *글로벌 은행 시스템 전반에 걸쳐 지배적 위험 지표*가 됨*. *VaR 가 *특정 질문에 답*: *'다음 날 (또는 주) 에 걸쳐, X% 확신으로 잃을 것으로 예상하는 최대 금액?'*. *표준 정형화가 *수익률이 대략 정규분포되었다고 가정*. *'$1000만 의 1% VaR' 가 의미*: *'우리의 정규-분포 가정 하, *어느 주어진 날에든 $1000만 이상 잃을 확률이 1%'*.

*이 단일 지표가 *은행, 규제자, 신용평가사에 의해 *자본 요구사항 크기 결정, 거래 데스크 보정, *그리고 복잡한 구조화 상품 (담보부채권 (CDO) 및 신용부도스왑 (CDS)) 의 안전성 판단*에 쓰임*. *금융 산업의 전체 위험-관리 기구가, *2000년대 중반에는, *자산 수익률이 정규분포를 따른다는 가정 위에 앉음*.

불일치

*가정이 *2007-2008 에 함께 가시화된 *세 방식으로 틀림*.

*첫째, 기저 자산 수익률이 두꺼운 꼬리*. *미국 주택 가격, 서브프라임 모기지 부도율, 그리고 *모기지-담보 증권 사이 상관 모두가 *정규가 허용한 것보다 무거운 꼬리*. *VaR 모델이 보정된 *역사적 데이터가 *전국적 주택-가격 하락을 포함 안 함*, 그래서 *모델이 *보정 샘플에서 진짜 꼬리 사건을 본 적 없음*.

*둘째, 상품 간 상관이 안정적이지 않음*. *CDO tranche 가 *다른 지역의 부도가 *대략 상관 없을 거라는 가정 위에 판매*, *분산이 위험을 극적으로 줄이도록 허용*. *전국적 주택 침체에서, *상관이 거의 1 로 튀어*; *분산이 *정확히 필요할 때 사라짐*.

*셋째, 레버리지가 엄청났고 구조가 불투명*. *작은 모델링 오류조차도 *레버리지로 확대되고 불투명, 연결된 상품을 통해 전파되면 *재앙적이 됨*. *Lehman Brothers 가 약 30배 레버리지로 운영*; *AIG 의 CDS 책이 *적절한 준비금을 갖지 않고 전체 시스템에 효과적으로 보험을 쓰는 중*.

숫자

*2007-2008 에 미국 주택 시장이 돌아섰을 때, *연쇄 실패가 *시장 가치에서 *조 단위 달러를 지웠어*. *Lehman Brothers 가 2008 년 9월 무너짐*. *AIG 가 $1,820 억 구제금융 필요*. *TARP 프로그램이 *$7,000 억 미국 정부 자금 약속*. *IMF 가 *글로벌 금융-부문 writedown 을 4조 달러 이상으로 추정*. *회복이 *10년의 대부분 걸림*, *지속적 실업, 압류, 그리고 *선진국 전반에 걸쳐 줄어든 가구 부와 함께*.

*VaR 모델의 '이건 일어나면 안 됨' 사건이 *몇 주에 걸쳐 *연속으로 여러 번 일어남*. *'이건 일어나면 안 됨' 사건이 아니었어*; *'모델이 잘못된 분포 썼음' 사건*. *비용이 *현대 경제 역사에서 가장 큰 것 중 하나*, 그리고 *코어의 통계적 실수가 *정확히 이 트랙이 이름 붙이는 것*.

일반화

*2008 위기가 *산업이 잘못된 분포 위에 세워진 위험 지표를 채택해서 실패한 *가장 큰 문서화된 사례*. *실수가 수학이 아니었어* — *VaR 가 수학적으로 잘 정의됨* — *근데 *현실이 두꺼운 꼬리이고 상관됐을 때 입력이 정규라는 가정**. *분포 가정을 검증하지 않고 정량 위험 지표를 채택하는 모든 도메인이 *자체 2008 위험*에 있음*. *보험 가격, 사이버-보안, 기후 모델링, 팬데믹 준비, AI 안전 모두가 *두꺼운 꼬리, 상관 시스템 포함, *잘못된 분포가 규모에서 재앙적 오류 생산 가능*.

Code

정규 vs 두꺼운 꼬리 수익률 하 VaR vs CVaR·python

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(200)

# *두 가정 하 VaR 추정의 양식화된 비교*.
# *일년에 일일 '포트폴리오 수익률'*. *같은 sigma; 다른 분포*.
N = 252      # 일년 거래일
portfolio_normal = rng.normal(loc=0.0005, scale=0.01, size=N)            # std 1%
portfolio_fat = rng.standard_t(df=3, size=N) * 0.01                       # 비슷한 std 이지만 두꺼운 꼬리

for label, returns in [("정규-분포 P&L", portfolio_normal),
                       ("두꺼운 꼬리 P&L", portfolio_fat)]:
    var_95 = np.quantile(returns, 0.05)    # 5번째 백분위 손실
    var_99 = np.quantile(returns, 0.01)    # 1번째 백분위 손실
    cvar_99 = returns[returns <= var_99].mean()    # 최악 1% 평균 손실
    print(f"\n{label}")
    print(f"  95% VaR (1일 손실):        {var_95 * 100:>+6.2f}%")
    print(f"  99% VaR (1일 손실):        {var_99 * 100:>+6.2f}%")
    print(f"  99% CVaR (최악 1% 평균):    {cvar_99 * 100:>+6.2f}%")

# *두꺼운 꼬리 시리즈에서, *최악 1% 가 VaR 단독이 보고하는 것보다 훨씬 더 나쁨*.
# *VaR 는 '임계' 지표*; *손실이 1% 날짜에 임계 아래로 떨어지는 *임계를 알려줘*.
# **그 손실이 *얼마나 더 나쁠 수 있는지*는 안 알려줘*.
# *CVaR (조건부 VaR, 일명 Expected Shortfall) 가 *VaR 가 놓치는 꼬리 질량을 포착*.
# *2008 위기가 *몇 일에 *여러 CVaR 치의 손실*.

Exercise

*도메인이 사용하는 '위험 지표' 식별* (uptime SLA, 예상 손실, 프로젝트의 기댓값, 평균 응답 시간). *물어*: *지표가 *기저 양의 정규나 얇은 꼬리 분포를 암묵적으로 가정해*? *Yes 면, *실제 분포의 꼬리가 어떻게 생겼고, *꼬리 사건이 얼마의 비용 들까*? *2008 교훈은 *잘못된 분포 위에 세워진 위험 지표가 *시스템의 실제 취약성에 대해 사용자에게 *잘못 브리핑*한다는 것*.

Hint

*클라우드 uptime SLA 가 *독립 실패를 가정*; *상관 실패 (주요 장애) 가 꼬리*. *프로젝트 ETA 가 *독립 작업 기간 가정*; *상관 지연이 꼬리*. *대부분 '지표' 가 *눈에 보이는 곳에 숨은 꼬리 가정*.

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