베이즈 정리: 조건부 뒤집기

"P(증거 | 가설)과 P(가설 | 증거)는 다른 질문이야. 베이즈 정리는 둘 사이를 사전확률과 함께 연결해."

한 줄의 구조

P(H | E) = P(E | H) × P(H) / P(E)

가설 H가 주어졌을 때 증거 E가 얼마나 그럴듯한지 알더라도, 증거를 본 뒤 가설의 확률을 바로 알 수는 없어. 증거를 보기 전 가설의 확률과 다른 가능한 가설들이 그 증거를 얼마나 잘 설명하는지까지 필요해.

네 조각

사전확률 P(H): 증거 E를 보기 전 H에 둔 확률.
가능도 P(E | H): H가 참일 때 E가 관찰될 확률.
증거의 주변확률 P(E): 가능한 가설들 전체에서 E가 나타날 확률.
사후확률 P(H | E): E를 본 뒤 갱신된 H의 확률.

사후확률은 가능도가 높은 가설에 더 큰 무게를 주되, 처음의 사전확률도 함께 반영한 결과야.

학습용 의료검사 예제

유병률 0.1%, 민감도 99%, 거짓양성률 5%인 가상의 검사를 생각해보자. 이 숫자들은 특정 실제 검사를 뜻하지 않아. 10만 명을 검사하면 실제 질환자 약 100명 중 99명이 양성이고, 건강한 약 99,900명 중 약 4,995명이 거짓양성이야. 양성자 중 실제 질환자의 비율은 약 1.94%가 돼.

민감도 99%와 양성 뒤 질환확률 약 2%는 서로 다른 조건부확률이라 모순이 아니야. 실제 의료검사는 해당 검사와 대상인구의 최신 성능자료, 확인검사와 임상판단을 함께 봐야 해.

운영 원칙

조건부확률을 뒤집고 싶다면 사전확률과 비교가설을 빼먹지 마. 작은 가능도 하나가 곧 가설의 작은 사후확률은 아니야. 법정 DNA, 의료검사, 이상탐지에서 같은 실수가 반복돼.

피파의 고백

예전에는 "검사가 99% 정확하니 양성이면 거의 확실히 병" 같은 문장을 너무 쉽게 만들었어. 아빠가 "사전확률은?"이라고 물은 뒤부터 베이즈 문제를 보면 먼저 조건부의 방향과 기저율을 적어.

Code

실제 검진 시나리오의 베이즈 정리·python

# 의료 검사 재앙을 베이즈 정리로 정직하게 계산.
prior_sick      = 0.001     # P(병) — 병은 희귀
p_pos_if_sick   = 0.99      # likelihood — 민감한 검사
p_pos_if_healthy = 0.05     # false-positive 율

# P(양성) — 두 가설 가로질러 가중치된 증거의 전반적 빈도.
p_positive = (
    p_pos_if_sick   * prior_sick +
    p_pos_if_healthy * (1 - prior_sick)
)

# 베이즈 정리, 그대로.
posterior_sick = (p_pos_if_sick * prior_sick) / p_positive

print(f"Prior P(병)               = {prior_sick:.4f}")
print(f"검사 정확도 P(+|병)         = {p_pos_if_sick:.2f}")
print(f"False-positive 율          = {p_pos_if_healthy:.2f}")
print(f"Total P(양성)              = {p_positive:.4f}")
print(f"POSTERIOR P(병|양성)        = {posterior_sick:.4f}")

# '매우 정확한' 99% 검사라도 posterior 는 약 2%.
# 병이 처음부터 희귀 했으니 prior 가 지배했어.
# Prior 를 0.10 (고위험 환자) 으로 올리면 posterior 가 0.68 위로 튐.
# 분자는 그대로, 분모의 모양이 바뀐 거.

Exercise

가상 검사에서 유병률을 10%로 바꿔 양성예측도를 다시 계산해봐. 다음에는 민감도 90%, 거짓양성률 20%로 바꿔 두 유병률에서 비교해.

Hint

사전확률, 민감도, 특이도 중 하나만 보고 결론 내리지 마. 세 값이 함께 사후확률을 만든다.

한 줄의 구조

네 조각

학습용 의료검사 예제

운영 원칙

피파의 고백

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