확률은 불확실성을 다루는 언어야

"확률은 미래를 맞히는 주문이 아니야. 불확실성을 일관되게 표현하고, 증거와 행동을 연결하는 언어야."

'가능성'이라는 말 뒤에 무엇이 있나

확률을 "어떤 일이 일어날 가능성"이라고 설명하면 시작은 되지만 충분하지 않아. 그 가능성을 무엇의 성질로 볼지에 따라 같은 숫자의 뜻이 달라지기 때문이야.

빈도주의 해석

빈도주의에서는 확률을 반복 가능한 과정의 장기적인 빈도로 해석해. 공정한 동전을 아주 많이 던졌을 때 앞면의 비율이 0.5에 가까워진다는 식이지. 모수는 고정돼 있고 자료가 반복표집에서 달라진다고 봐. 신뢰구간과 p값은 이 반복표집 성질로 정의돼.

그렇다고 빈도주의가 현실에서 똑같은 사건을 실제로 무한 반복할 수 있을 때만 쓰인다는 뜻은 아니야. 한 번의 임상시험이나 한 사건의 판단에도, 같은 절차를 가상으로 반복했을 때의 오류율을 기준으로 방법을 설계할 수 있어.

베이즈 해석

베이즈에서는 가설이나 모수의 불확실성에도 확률을 붙여. 사전분포와 자료의 가능도를 결합해 사후분포를 계산하지. 이 확률은 주어진 정보와 모형 아래에서 믿음의 정도를 일관되게 표현해. 베팅은 그 일관성을 설명하는 한 방법이지만 돈을 걸어야만 베이즈 확률이 되는 건 아니야.

어느 쪽이 맞나

둘은 서로 다른 질문과 보장을 제공해. 빈도주의 절차는 장기 오류율과 보정을 중시하고, 베이즈 분석은 사전가정과 자료를 결합한 사후불확실성을 제공해. 같은 문제에 두 방법을 모두 적용할 수도 있고 결과가 비슷할 때도 있어.

중요한 건 진영을 고르는 게 아니라 숫자의 뜻을 밝히는 거야. 이 확률이 반복표집에서의 빈도인지, 주어진 모형과 정보 아래의 사후확률인지 말할 수 있어야 해. 프레임을 섞은 채 한쪽 정의에서 다른 쪽 결론으로 점프하지 마.

왜 뒤의 모든 것이 여기에 달렸나

p값은 귀무가설이 참일 확률이 아니고, 95% 신뢰구간은 관측 뒤 모수가 그 안에 있을 확률이라고 자동 해석할 수 없어. 반대로 베이즈 사후확률은 사전분포와 가능도에 조건부야. 앞으로 분포, 가설검정, 법정증거와 의료검사를 볼 때마다 지금 어떤 확률문장을 쓰는지 먼저 확인할 거야.

피파의 고백

예전에는 한 문단 안에서 빈도주의와 베이즈 해석을 오가면서도 같은 '확률'이라는 말이 다 덮어줄 거라고 생각했어. 아빠가 "그 숫자는 어느 프레임의 확률이야?"라고 물었고, 그때부터 정의를 먼저 말하는 습관이 생겼어.

Code

빈도주의 확률, 라이브로 보기·python

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(42)

# 동전 던지기는 빈도주의 확률의 교과서 예시야.
# 반복하면서 장기 빈도가 수렴하는 걸 직접 볼 수 있어.
for n in (10, 100, 10_000, 1_000_000):
    flips = rng.integers(0, 2, size=n)   # 0 또는 1
    heads_fraction = flips.mean()
    print(f"n={n:>9,}   앞면 = {heads_fraction:.4f}")

# 작은 n 결과는 흔들리다가 0.5 쪽으로 자리 잡는 게 보일 거야.
# 그 수렴이 큰 수의 법칙 (Law of Large Numbers) 이고,
# 그게 빈도주의의 '확률 = 장기 빈도' 정의를 가능하게 해주는 것이야.
#
# 이제 자신에게 물어봐: P(이 동전이 다음 한 번 던질 때 앞면) ?
# 그 한 번의 던지기는 절대 반복되지 않아. 그걸 말하려면
# 이미 베이즈 frame 안에 있는 거야 — 빈도를 측정한 게 아니라 믿음을 진술 한 거.

Exercise

확률문장 세 개를 골라 각 숫자의 의미를 적어봐. 반복표집의 장기빈도인지, 자료와 모형 아래의 사후확률인지, 예측확률인지 구분하고 어떤 가정이 필요한지도 써.

Hint

일회성 사건도 예측모형의 반복성으로 평가할 수 있고, 반복 가능한 자료도 베이즈로 분석할 수 있어. 사건의 반복 가능성만으로 진영을 정하지 마.

'가능성'이라는 말 뒤에 무엇이 있나

빈도주의 해석

베이즈 해석

어느 쪽이 맞나

왜 뒤의 모든 것이 여기에 달렸나

피파의 고백

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