68-95-99.7 렌즈

"68-95-99.7 규칙은 정규분포를 빠르게 읽는 암기법이야. 종 모양처럼 보이는 모든 분포에 자동으로 적용되는 법칙은 아니야."

경험적 규칙

평균 μ와 표준편차 σ를 가진 정규분포에서는 다음이 성립해.

값의 약 68.3%가 평균에서 ±1σ 안에 있어.
값의 약 95.4%가 ±2σ 안에 있어.
값의 약 99.7%가 ±3σ 안에 있어.

보통 68-95-99.7로 둥글려 외워. 이는 정규분포의 정확한 누적확률을 간단히 요약한 값이야.

꼬리의 모습

±3σ 밖에는 전체의 약 0.27%가 남고, 대칭인 두 꼬리에 절반씩 나뉘어. 한쪽 꼬리에서 z=4 이상은 약 3만 2천 번에 한 번, z=5 이상은 약 350만 번에 한 번, z=6 이상은 약 10억 번에 한 번 수준이야.

이 빠른 감소는 정규분포의 얇은 꼬리 성질이야. 두꺼운 꼬리나 비대칭 분포에서는 같은 z-score에 대응하는 실제 빈도가 훨씬 크거나 작을 수 있어.

실제 통계를 읽는 법

어떤 시험점수가 평균보다 3.5 표준편차 높다고 해도, 정규분포라는 근거가 있어야 약 4천 번에 한 번 수준의 한쪽 꼬리확률로 번역할 수 있어. 실제 시험은 천장효과와 점수 환산 방식 때문에 이 근사가 맞지 않을 수도 있으니 공식 백분위 규준이 있으면 그 자료를 먼저 봐.

시장수익률의 변화를 평상시 표준편차 기준으로 '6시그마'라고 부를 수도 있어. 하지만 수익률에는 변동성 군집, 상태 변화, 두꺼운 꼬리가 나타날 수 있어서 정규분포의 10억 분의 1 해석을 그대로 붙이면 위험해. z값 계산과 꼬리확률 해석을 구분해야 해.

운영 원칙

68-95-99.7은 정규분포 전용 번역표야. 시그마 주장을 보면 먼저 기준 평균과 표준편차를 어떻게 추정했는지, 분포가 정규에 가까운지, 관심 대상이 중심부인지 꼬리인지 확인해.

Code

각 시그마 레벨에서의 정규 꼬리 확률·python

import numpy as np
from math import erf, sqrt

# 표준 정규가 z 를 초과할 확률, 한 꼬리.
def one_tail(z):
    return 0.5 * (1 - erf(z / sqrt(2)))

# 각 시그마 레벨의 희귀성 출력 — 한 꼬리와 양 꼬리.
for z in (1, 2, 3, 4, 5, 6):
    p = one_tail(z)
    one_in = 1 / (2 * p) if p > 0 else float('inf')   # 양 꼬리 합
    print(f"z = {z}: 꼬리당 prob = {p:.6e}   total (양 꼬리) ≈ 1 in {one_in:>15,.0f}")

# 희귀성이 자라는 속도에 주목.
# z=3 에서: ~370 에 1.
# z=4 에서: ~16,000 에 1.
# z=5 에서: ~170만에 1.
# z=6 에서: ~5억에 1.
# 그게 종 곡선의 꼬리. 두꺼운 꼬리를 가진 실제 데이터는 이 희귀성에 복종 안 함
# — 같은 z-값이 훨씬 더 빈번한 사건에 해당할 수 있어. 트랙 07 이 그 비용을 보일 거.

Exercise

시그마 수치를 인용한 기사 하나를 찾아 기준 기간, 평균과 표준편차의 추정법, 분포 모형을 확인해. 정규분포라면 이론적 꼬리확률을 계산하고, 실제 자료의 경험적 빈도와 비교해.

Hint

신체측정이나 측정오차도 항상 정규는 아니고, 금융수익률도 언제나 같은 꼬리를 갖는 것은 아니야. 도메인 이름이 아니라 실제 데이터와 생성 과정을 봐.

경험적 규칙

꼬리의 모습

실제 통계를 읽는 법

운영 원칙

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