평균의 표집 분포

"표본평균 하나만 보면 숫자 하나지만, 같은 절차를 반복해 얻을 수 있는 평균들을 생각하면 불확실성의 모양이 보여."

한 평균, 많은 가능성

모집단에서 크기 N의 표본을 뽑아 평균을 계산해. 같은 방식으로 새 표본을 계속 뽑는다고 상상하면, 표본마다 평균이 조금씩 달라질 거야. 이 평균들이 이루는 분포를 평균의 표집분포라고 해.

조건이 맞고 N이 충분히 크면 CLT에 따라 이 표집분포를 정규분포로 근사할 수 있어. 원자료 자체가 종 모양일 필요는 없어. 다만 표본 크기만으로 근사의 품질이 정해지는 것은 아니고, 원자료의 비대칭·꼬리·의존성도 중요해.

표준오차

표집분포의 표준편차를 표준오차(standard error, SE)라고 해. 독립·동일분포 표본의 모집단 표준편차가 σ라면 표본평균의 표준오차는 SE = σ / √N이야. σ를 모를 때는 보통 표본에서 추정하고, 설문이나 군집표본처럼 표본설계가 복잡하면 그 설계에 맞는 계산이 필요해.

단순 무작위표본에서는 N을 네 배로 늘려야 표준오차가 절반이 돼. 이 제곱근 법칙은 데이터 추가의 수익이 점점 줄어든다는 사실을 보여줘. 그러나 편향된 표본을 크게 만든다고 편향까지 사라지는 것은 아니야.

왜 신경 써야 하나

'지지율 40%, 오차범위 ±3%포인트' 같은 표현은 추정량의 표집분포와 표준오차를 이용해 만들어. 적절한 95% 신뢰구간 절차를 같은 조건에서 반복하면, 그렇게 만든 구간의 약 95%가 고정된 참값을 포함한다는 뜻이야. 이미 계산된 한 구간에 참값이 들어 있을 확률이 95%라는 빈도주의 진술과는 달라.

관측값이 의존적이거나 표본선정이 편향되어 있거나 꼬리가 매우 두꺼운데 단순 공식을 그대로 쓰면, 보고된 오차범위가 실제 불확실성을 제대로 반영하지 못할 수 있어. 그렇다고 구간이 자동으로 '허구'가 되는 것은 아니야. 군집에 강건한 표준오차, 재표집, 모형 기반 방법처럼 구조에 맞는 대안이 있어.

운영 규칙

표집분포는 표본에서 모집단으로 넘어갈 때 생기는 변동을 표현해. CLT는 그 분포를 정규분포로 근사하는 중요한 길 하나를 제공하지만, 모든 신뢰구간과 검정이 오직 이 한 정리에만 서 있는 것은 아니야. 어떤 표본설계와 모형을 썼는지부터 확인해.

Code

비정규 모집단에서 평균의 표집 분포·python

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(70)

# 모집단: 고도로 비대칭 (lognormal).
population = rng.lognormal(mean=0, sigma=1, size=1_000_000)
pop_mean = population.mean()

# M 개 독립 샘플 (크기 N), 각 평균 계산.
N = 100
M = 10_000
sample_means = np.array([
    rng.choice(population, size=N, replace=False).mean()
    for _ in range(M)
])

# 원 모집단은 정규에서 멀어 — 심하게 right-skewed.
print(f"모집단:        평균={pop_mean:.3f}  skew=심한 오른쪽 (lognormal)")
print(f"표본 평균들:    평균={sample_means.mean():.3f}  std={sample_means.std():.3f}")
print(f"이론적 SE = sigma/sqrt(N) = {population.std() / np.sqrt(N):.3f}")

# 평균의 표집 분포가 훨씬 좁아 (~ sigma/sqrt(N))
# 그리고 모집단보다 정규에 훨씬 가까워 — 모집단 자체가 정규에서 멀어도.
# 그게 CLT 가 평균의 상상된 분포에 일하는 것.

Exercise

N=1,000명의 응답자로 '50% 지지, 오차범위 ±3%포인트'라고 보고한 설문을 생각해 봐. 단순 무작위표본 공식을 써서 표준오차를 계산해. 그런 다음 실제 표본선정, 무응답, 가중치, 군집구조가 이 계산과 얼마나 다른지 질문해 봐.

Hint

비율 p에 대해 SE ≈ sqrt(p(1-p)/N). p=0.5, N=1000일 때 SE ≈ 1.6%. 95% 구간 = ~1.96 × SE ≈ ±3%. ±3%는 단순한 산수야. 하지만 신뢰성은 전제조건에 대한 별개 질문이지.

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