변화율에서 누적량으로
속도 함수가 주어졌을 때 일정 시간 동안 이동한 변위를 구하려면 아주 짧은 구간의 ‘속도 × 시간’을 모두 더해. 구간을 점점 잘게 나눈 합의 극한이 정적분이야. 미분이 국소 변화율을 묻는다면 적분은 그 변화가 구간 전체에 얼마나 쌓였는지 묻지.
부호가 있는 면적
는 그래프와 x축 사이의 부호 있는 면적으로 볼 수 있어. 함수가 x축 위에 있으면 양수, 아래에 있으면 음수로 기여해. 기하학적 넓이가 필요하면 음수 부분의 부호를 따로 처리해야 해.
리만합에서는 구간을 작은 폭 로 나누고 각 구간의 대표 높이 를 곱해 더해. 분할 폭이 0으로 갈 때 합이 수렴하면 적분값을 얻어. 모든 함수가 아무 조건 없이 적분 가능한 것은 아니야.
미적분학 기본정리가 잇는 두 방향
연속함수 에 대해 로 두면 가 돼. 또 인 원시함수를 알면 로 정적분을 계산할 수 있어. 부정적분에서 상수 차이가 남는 것과 정적분이 하나의 수가 되는 것을 구분해.
AI에서 적분이 등장하는 곳
- 연속 확률분포: 확률밀도는 전체 정의역에서 적분해 1이 되고, 구간 확률은 밀도의 적분이야.
- 잠재변수 모형: 관측되지 않은 변수를 적분해 주변우도를 구하지만 닫힌형식이 없어 근사하는 경우가 많아.
- 연속시간 모형: neural ODE는 미분방정식 해를 수치적으로 적분하고, 확산모형도 연속시간 SDE나 ODE 관점으로 다룰 수 있어.
- 기댓값: 연속분포의 평균과 손실 기대값은 적분으로 정의되고, 실전에서는 표본평균으로 근사하곤 해.
미분은 국소 변화율을, 적분은 구간의 부호 있는 누적을 다뤄. 미적분학 기본정리는 적절한 조건 아래 두 연산을 이어 줘.