채권 가격 — 약정 현금흐름의 현재가치 · 금융 기초 퀘스트

채권 가격은 앞으로 받을 쿠폰과 원금의 현재가치 합이다. 연 1회 쿠폰 C를 n년 동안 지급하고 만기에 액면가 F를 상환하는 채권을 수익률 r로 평가하면 다음과 같다.

P = \frac{C}{1 + r} + \frac{C}{( 1 + r ) ^{2}} + \dots + \frac{C + F}{( 1 + r ) ^{n}}

지급이 반기라면 기간당 쿠폰과 기간당 수익률, 전체 기간 수를 모두 반기 기준으로 맞춘다. 단위가 섞이면 계산은 그럴듯해도 답은 틀린다.

쿠폰은 특정 날짜에 지급되므로 일반 채권 가격은 유한한 합으로 계산한다. 연속적으로 흐르는 현금흐름을 모형화할 때 적분을 쓸 수 있지만, ‘합은 적분의 이산형’이라는 비유가 두 연산을 같게 만들지는 않는다. 먼저 실제 지급 일정을 그대로 적는 것이 안전하다.

액면가 ₩10,000, 연 5% 쿠폰, 3년 만기, 연 1회 지급 채권의 YTM이 6%라고 하자. 현금흐름은 1년과 2년 뒤 각각 ₩500, 3년 뒤 ₩10,500이다.

P = \frac{500}{1.06} + \frac{500}{1.0 6 ^{2}} + \frac{10 , 500}{1.0 6 ^{3}}

각 현재가치는 약 ₩471.70, ₩444.99, ₩8,815.62이므로 가격은 약 ₩9,732.31이다. YTM 6%가 쿠폰율 5%보다 높기 때문에 가격이 액면가보다 낮다.

초급 계산은 모든 현금흐름을 하나의 YTM으로 할인한다. 더 엄밀하게는 각 만기에 대응하는 무이표 현물금리로 현금흐름을 따로 할인할 수 있다.

P = t = 1 \sum n \frac{C F _{t}}{( 1 + s _{t} ) ^{t}}

수익률곡선이 평평하지 않으면 단일 YTM은 여러 기간 금리를 하나로 압축한 요약값이다. 신용 스프레드나 유동성 프리미엄이 바뀌면 국채 기준금리가 그대로여도 회사채 가격은 움직일 수 있다.

현금흐름이 같다면 할인율이 오를수록 모든 항의 현재가치가 낮아진다. 뒤에 있는 지급은 더 많은 기간에 걸쳐 할인되므로 금리 변화의 누적 영향을 크게 받는다. 다음 절의 듀레이션은 지급 시점과 현재가치 비중을 모아 이 민감도를 측정한다.

채권 가격은 지급일별 현금흐름의 현재가치 합이다. 지급 주기와 수익률 단위를 맞추고, 필요하면 기간별 현물금리로 할인하라. 가격과 수익률의 역관계는 각 할인항에서 직접 나온다.

채권 가격 — 약정 현금흐름의 현재가치