Black-Scholes — 무차익 옵션가격의 출발점 · 금융 기초 퀘스트

1973년 Fischer Black과 Myron Scholes는 옵션가격 논문을 발표했고 Robert Merton은 같은 해 연속시간 접근을 확장했다. 1997년 경제학상은 Scholes와 Merton에게 돌아갔으며 Black은 그 전에 세상을 떠났다.

모형의 핵심은 실제 주가를 정확히 예측하는 데 있지 않다. 주식과 무위험자산을 동적으로 조합해 옵션의 위험을 복제하고, 무차익 조건으로 같은 가격을 부여하는 데 있다.

C = S_{0} N (d_{1}) - K e^{- r T} N (d_{2})

d_{1} = \frac{ln ( S _{0} / K ) + ( r + σ ^{2} /2 ) T}{σ T}, d_{2} = d_{1} - σ T

위 식은 배당이 없는 유럽형 옵션의 특수한 경우다. 배당수익률이 있으면 현물 항을 조정한다. ‘할인된 기대 손익’이라고 요약할 수 있지만, 그 기대는 실제 확률이 아니라 위험중립 확률 아래에서 계산한다.

콜 델타를 ‘내가격으로 끝날 확률’로 부르는 관행이 있지만 정확한 동일식은 아니다. 이 모형에서 위험중립 내가격 확률에 직접 대응하는 항은 보통 N(d_2)이고, 무배당 콜 델타는 N(d_1)다.

기본 모형은 연속거래, 일정한 변동성과 금리, 로그정규 주가, 거래비용 없음, 완전한 차입·공매도, 유럽형 행사 등을 가정한다. 현실에는 점프, 변동성 스큐, 유동성 부족, 거래비용, 불연속 헤지가 있다.

그래도 모형은 공통 가격 언어와 헤지 기준을 제공한다. 중요한 태도는 ‘틀린 모형이니 버린다’도 ‘표준 모형이니 진실이다’도 아니다. 어떤 가정이 현재 상품과 시장에서 중요한지 확인하고 보정하는 것이다.

Black-Scholes-Merton은 복제와 무차익으로 유럽형 옵션가격을 연결한다. 공식의 출력보다 입력, 그릭, 가정이 더 중요하다. 위험중립 확률과 실제 예측 확률을 구분하고, 변동성 스큐와 유동성 같은 모델 밖의 위험을 별도로 관리하라.

Black-Scholes — 무차익 옵션가격의 출발점