금융에서 가장 유명한 공식
1973 년에 Fischer Black, Myron Scholes, Robert Merton 이 European 콜 옵션 공식 발표. 금융을 영원히 바꿈 + 노벨상 (Black 이 상 전 사망; Scholes 와 Merton 이 1997 받음). 공식 복잡. 외울 필요 없어. 필요한 건 그림과 그게 뭐 알려주는지.
Black-Scholes 공식 (그냥 보기)
여기서:
C= 콜 가격S= 현재 주가K= strike 가격T= 만기까지 시간 (년)r= 무위험 금리σ= 변동성N(·)= 누적 정규 분포
멈춤. 그냥 봐. 공식이 너가 이미 만난 많은 거 결합: S/K (비율 — 분자/분모!), ln (자연로그 — 트랙 1 lesson 5), e^{-rT} (지수 할인 — 트랙 2 결, 단지 연속), σ (변동성 — 트랙 1 lesson 6 + 트랙 8 lesson 4), N(·) (정규 분포 — 트랙 1 암묵, 고급 quest 에 형식).
실제 계산하는 거: 옵션 가격을 만기에 주식이 끝날 곳의 확률 분포에 걸쳐 평균낸 payoff 의 기댓값, 오늘로 할인. 그게 다.
다섯 input 과 콜 가격에 대한 효과
- 주가 S ↑ → 콜 가격 ↑ (더 ITM 영역)
- Strike K ↑ → 콜 가격 ↓ (덜 ITM)
- 시간 T ↑ → 콜 가격 ↑ (주식 움직일 기회 더)
- 변동성 σ ↑ → 콜 가격 ↑ (큰 움직임 기회 더)
- 금리 r ↑ → 콜 가격 ↑ (살짝 — K 에 대한 할인 효과)
풋엔 S↑ 와 K↑ 효과 뒤집힘; T, σ, r 효과는 프리미엄에 방향 비슷 (풋도 σ 에서 이득).
그릭 — 민감도 측정
각 input 이 옵션의 그것에 대한 민감도 측정하는 *그릭* 가짐:
- Delta (Δ): S 에 대한 민감도. 대략 옵션이 ITM 끝날 확률. 콜은 delta 0 ~ 1; 풋은 −1 ~ 0.
- Gamma (Γ): S 에 대한 delta 민감도. 곡률.
- Vega: σ 에 대한 민감도 (lesson 8-4).
- Theta (Θ): 시간에 대한 민감도. Long 옵션엔 보통 음 (시간 부패).
- Rho (ρ): r 에 대한 민감도. 보통 작음.
프로 옵션 트레이더가 그릭으로 포트폴리오 관리. Retail 이 대부분 무시 가능; *delta* 와 *vega* 가 가장 많이 쓰는 거라는 것만 알아.
가정과 제한
Black-Scholes 가정:
- 주가가 연속 random walk 따라감 (점프 없음)
- 변동성 σ 일정
- 배당 없음 (확장이 처리)
- 무위험 금리 일정
- 옵션이 European (만기에만 행사 가능)
- 거래 비용이나 세금 없음
실제 시장이 이 모든 거 위반. 공식이 여전히 벤치마크로 유용, 근데 위반이 내재 변동성이 일정하지 않은 이유 (지난 lesson 의 변동성 smile) 와 이국 옵션이 다른 모델 필요한 이유. 1998 LTCM 붕괴 (lesson 8-7) 가 부분적으로 극단 조건에서 Black-Scholes 가정 실패.
핵심
Black-Scholes 가 European 옵션의 형식 가격 모델. 다섯 input (S, K, T, r, σ); 각각이 가격에 예측 가능 영향. 그릭이 각 input 에 대한 민감도 측정. 산수 우아한데 가정 이상화. 실제 시장이 B-S 가 완전 잡지 못하는 smile/skew 보임. 공식 외울 필요 없어; 뭐 계산하는지 (확률 분포 하 기대 payoff, 할인) 와 σ 가 뭐 하는지 (더 많은 σ = 더 많은 프리미엄) 만 알아. 대부분 옵션 사고가 이 그림에서 흘러.