지수와 로그 — 복리를 앞뒤에서 보는 법 · 금융 기초 퀘스트

올해 5%를 벌면 내년에는 처음 넣은 돈뿐 아니라 올해 번 돈까지 합친 금액에 다시 5%가 붙어. 이자에도 이자가 생기는 복리야.

5% 수익은 자산에 1.05를 곱하는 것과 같아. 한 해 뒤에는 1.05, 두 해 뒤에는 1.05 × 1.05 = 1.1025, 세 해 뒤에는 1.05 × 1.05 × 1.05 = 1.1576...배가 돼.

같은 수를 여러 번 곱하는 일을 짧게 쓰면 이렇게 돼.

(1 + r)^{n}

r은 기간마다 얻는 수익률이고 n은 곱한 횟수야. 오른쪽 위의 작은 숫자인 지수는 ‘이 수를 자기 자신과 몇 번 곱할지’를 알려주는 표지일 뿐이야.

연 5% 복리로 30년을 굴리면 (1.05)^30 ≈ 4.32야. $100이 약 $432가 되지. 단순히 5% × 30 = 150%를 더해 $250라고 계산한 것과 큰 차이가 나.

복리를 ‘세계 8대 불가사의’라고 아인슈타인이 말했다는 이야기는 널리 퍼졌지만 출처는 분명하지 않아. 말의 주인이 누구든, 시간이 길어질수록 지수의 힘이 직감을 크게 앞선다는 내용만큼은 맞아.

비용도 똑같이 겹쳐 쌓여. 매년 1%가 빠지면 30년 뒤 남는 비율은 (0.99)^30 ≈ 0.74야. 단순 합인 30%가 아니라, 비용이 없을 때보다 약 26% 적게 남아. 트랙 10에서 이 효과를 다시 만날 거야.

지수가 ‘1.05를 n번 곱하면 얼마가 될까?’를 묻는다면 로그는 ‘1.05를 몇 번 곱해야 4.32가 될까?’를 물어.

그 답인 약 30이 log_{1.05}(4.32)의 뜻이야. 로그는 지수의 역연산이므로 결과와 밑을 알 때 지수를 되찾아줘.

손으로 계산할 필요는 없어. 계산기와 스프레드시트가 해줄 일이야. 지수가 시간을 앞으로 보내며 복리의 결과를 구한다면, 로그는 결과를 보고 시간이 얼마나 흘렀는지 거슬러 찾는다는 그림만 잡으면 돼.

금융 글에서는 ln(x)와 로그수익률을 자주 만나. 크게 두 가지 이유가 있어.

기간별 로그수익률은 더할 수 있어. 가격이 10% 오른 뒤 10% 내리면 1.10 × 0.90 = 0.99이므로 원점으로 돌아오지 않아. 각 기간의 로그수익률은 ln(1.10)과 ln(0.90)이고, 둘을 더하면 전체 수익률의 로그인 ln(0.99)가 정확히 나와. 반대로 크기가 같은 +10%와 −10%의 로그수익률은 서로 상쇄돼. 이 덧셈 성질 덕분에 평균과 분산 같은 통계도 다루기 편해.
연속복리의 언어다. 이자가 해마다 붙는지, 달마다 붙는지 잘게 나누는 대신 계속 붙는다고 보면 식이 매끄러워져. 자연로그 ln이 그 표현을 이어줘.

ln은 이미 이해한 복리를 더 깔끔하게 적는 도구야. 낯선 기호가 나타났다고 새로운 세계가 열린 것은 아니야.

지수는 같은 곱셈을 반복하는 복리의 엔진이고, 로그는 그 엔진을 거꾸로 돌리는 연산이야. 트랙 2에서는 시간가치식의 지수로, 트랙 3에서는 로그수익률로 다시 만날 거야. 직접 계산하기보다 식이 무엇을 묻는지 알아보는 게 먼저야.

지수와 로그 — 복리를 앞뒤에서 보는 법