지수랑 로그 — 복리의 심장

왜 지수가 복리의 심장인가

올해 5% 수익을 봐. 내년엔 *새 총액* 에 5% 수익 — 작년에 번 부분 포함. 그게 *복리* 야. *이자에 이자* 효과.

복리 뒤의 산수가 지수야. (1 + r) 이 곱셈 인자 — 5% 수익이면 1.05 곱하기. 한 번: 1.05. 두 번: 1.05 × 1.05 = 1.1025. 세 번: 1.05 × 1.05 × 1.05 = 1.1576.... 매년 같은 수 곱하기.

그 반복 곱셈에 짧은 이름이 있어:

*1 더하기 r, 의 n 승*. n 은 햇수 (또는 곱한 횟수). 위에 작게 올라가는 숫자가 지수 야. 무서워하지 마. 그냥 *이걸 자기 자신에 n 번 곱한다* 의 줄임이야.

복리는 1년 단위로 보면 작아 보이는데, 수십 년이면 거대해

매년 5% 복리로 30년: (1.05)^30 ≈ 4.32. 그러니까 $100 이 $432 가 돼. $250 아니야 — *5% × 30 = 150% 성장 = 1.5배 = $250* 으로 보면. 복리가 장기 답을 직감보다 훨씬 크게 만들어.

이게 아인슈타인이 (아마 실제론 안 했지만) 복리를 *세계 8 대 불가사의* 라고 불렀다는 이유. 또 투자자들이 1년엔 하품하고 30년엔 응시하는 이유. 지수가 그 차이.

반대로 *비용* 도 같은 결로 복리돼. 매년 1% 수수료를 30년 — 30% 아니야. (0.99)^30 ≈ 0.74, 즉 돈의 26% 잃어. 트랙 10 이 비용 결 박을 이유야.

로그란 진짜 뭔가

로그는 지수보다 사람들 더 무서워해. 근데 같은 결을 반대편에서 보는 거야.

지수가 묻는 것: *"1.05 를 자기 자신에 n 번 곱하면 뭐 나와?"* 답: (1.05)^n.

로그가 묻는 것: *"4.32 가 되고 싶어. 1.05 를 자기 자신에 몇 번 곱해야 해?"* 답: 약 30 번. 그 *약 30* 이 log_{1.05}(4.32) 의 의미.

로그를 손으로 계산할 필요 없어 — 모든 계산기랑 스프레드시트가 해줘. 보는 의미는 그냥 *뭔지* 이해하는 거: 로그는 지수의 역. 지수가 *시간 앞으로* (복리) 라면, 로그는 *시간 뒤로* (얼마나 걸렸어?).

왜 금융이 자연로그 (ln) 를 특히 좋아하나

금융에선 ln(x) 자주 보여 — 특히 *로그 수익률* 결. 두 가지 이유:

1. 로그 수익률은 더해져. 주식이 10% 오르고 10% 빠지면, 다시 0 됐다고 생각할 수도. 아니야 — 99% 야. (1.10 × 0.90 = 0.99.) 근데 로그 수익률 쓰면 산수가 깔끔해져: +10% 로그 수익률 다음 -10% 로그 수익률은 합쳐서 0. 그리고 로그 수익률에 통계 적용 가능 — 평균, 분산 등.
2. 연속 복리. 이자가 매년 복리되는지 매월 매일 복리되는지 따지지 않고 그냥 *연속* 이라고 부르면 산수가 부드러워져. 자연로그 ln 이 그 언어.

손으로 ln 계산 안 해. 인지만 — 금융 글이 ln 이나 *로그 수익률* 쓸 때 그건 더 어려운 산수가 아니라, 우리가 이미 이해한 거를 *더 깔끔하게* 푸는 방식.

핵심

지수는 반복 곱셈 — 복리의 엔진. 로그는 지수의 역 — *얼마나 걸렸어?* 또는 *시작-끝 봤을 때 수익률 얼마야?*. 손 계산 안 해. 모양이 뭔지, 뭘 묻는지만 알면 돼. 트랙 2 (TVM) 가 첫 식부터 지수 써. 트랙 3 (위험과 수익) 이 로그 가볍게 써. 이제 그게 뭔지 알아.