평균, 분산, 표준편차 — 흔들림의 모양

평균이 같아도 길은 다르다

지난 20년의 연평균 수익률이 똑같이 10%인 두 주식이 있다고 하자.

• 주식 A는 해마다 +9%와 +11% 사이에서 움직였어.
• 주식 B는 대체로 +10% 근처였지만 어떤 해에는 30%를 잃고, 다른 해에는 50%를 벌었어.

평균만 보면 둘은 같지만 투자자가 겪은 길은 전혀 달라. A는 잔잔했고 B는 거칠었지. 통계에서는 평균 주위로 얼마나 넓게 흔들렸는지를 분산과 표준편차로 나타내.

가운데 선과 그 주위의 띠

평균을 가로선 하나로 그리고 매년의 수익률을 그 주위의 점으로 찍어봐. A의 점은 선 가까이에 좁게 모이고, B의 점은 아래로 −30%, 위로 +50%까지 넓게 퍼져.

표준편차는 그 띠의 대표적인 폭이야. 보통 소문자 그리스 문자 σ로 써. 예를 들어 A의 σ가 1%, B의 σ가 25%라면 평균은 같아도 B가 훨씬 크게 흔들렸다는 뜻이야.

거리의 부호를 없애는 제곱

평균보다 5만큼 위에 있는 값과 5만큼 아래에 있는 값을 그냥 더하면 +5 + (−5) = 0이 돼. 흔들림이 분명히 있는데 서로 지워져버리지.

그래서 평균과의 거리를 제곱해. (+5)² = 25이고 (−5)² = 25라서 어느 방향으로 벗어났든 거리가 양수로 남아. 이 제곱거리들의 평균이 분산이야.

분산의 단위는 원래 단위를 제곱한 꼴이라 직관적으로 읽기 불편해. 다시 제곱근을 씌우면 원래 단위로 돌아오는데, 그 값이 표준편차야.

표준편차 = √분산. 계산식보다 가운데 선과 띠를 기억해. 띠가 넓을수록 σ가 크고 흔들림도 커.

금융에서 여러 모습으로 나타나는 흔들림

금융에서 말하는 변동성은 보통 수익률의 표준편차를 뜻해. CNBC가 ‘VIX 25’를 말한다면 시장이 예상하는 S&P 500의 향후 30일 변동성을 연율로 약 25%에 해당하게 보고 있다는 뜻이야.

여기서 OOP의 다형성이 보여. ‘흔들림’이라는 바탕 개념이 금융의 대상에 따라 다른 모습으로 구체화돼.

• 트랙 3에서는 σ가 주식 수익률의 변동성을 나타내.
• 트랙 7에서는 듀레이션이 금리 변화에 따른 채권가격의 민감도를 재.
• 트랙 8에서는 σ가 Black-Scholes 모형의 옵션가격 결정변수로 들어가.
• 트랙 9에서는 베타 β가 시장 움직임에 대한 주식의 민감도를 나타내.

정확히 같은 통계량은 아니지만 모두 ‘무엇이 얼마나 흔들리는가’를 각자의 문맥에서 묻는 도구야. 가운데 선과 띠를 기억하면 이름이 달라져도 뿌리를 알아볼 수 있어.

가져갈 그림

평균은 값들이 모이는 중심을, 분산과 표준편차는 그 중심 주위로 퍼진 폭을 보여줘. 평균은 선이고 표준편차는 띠의 폭이야. 수익과 위험을 함께 읽는 출발점이 바로 이 두 숫자야.