평균, 분산, 표준편차 — 흔들림의 모양

흔들림의 모양

두 주식. 둘 다 지난 20 년 평균 연 수익 10%. 같은 평균. 근데:

• 주식 A: 매년 +9% 와 +11% 사이
• 주식 B: 대부분 해는 대충 +10%, 근데 어떤 해는 30% 잃고 어떤 해는 50% 벌었어

어느 게 *더 안전*? 당연히 B 가 더 거칠어. 같은 평균, 근데 경로가 달라. 주식 A 는 거의 안 흔들려. 주식 B 는 많이 흔들려.

그 차이 — *흔들림* — 이 통계가 말하는 분산 (그리고 더 읽기 쉬운 친척 *표준편차*). 이 통계의 핵심은 답하는 거야: *이게 평균 주위에서 얼마나 출렁이나?*

띠 그림

평균을 한가운데 가로지르는 선으로 그려. 실제 매년 수익은 그 선 주위에 흩어진 점들. 어떤 건 위, 어떤 건 아래.

주식 A 는 점들이 선에 좁게 모여 — 좁은 띠, 양쪽 약 1% 폭.

주식 B 는 점들이 넓게 흩어져 — 30% 아래, 50% 위. 훨씬 넓은 띠.

표준편차 (보통 σ, 소문자 그리스 시그마) 는 그냥 그 띠의 일반적 폭 — 평균에서 일반적인 관측이 얼마나 떨어져 있나. 주식 A 는 σ = 1%. 주식 B 는 σ = 25%.

같은 평균. 다른 σ. 다른 흔들림.

왜 제곱하나 — 분산 뒤의 트릭

*분산* 은 기술적으로 *(평균에서의 거리)²* 의 평균. 왜 제곱? 양의 편차와 음의 편차를 그냥 평균 내면 상쇄돼서 0. (+5 위, −5 아래 → 평균 0, 무용.)

제곱은 부호를 죽여 — (+5)² = 25 와 (−5)² = 25 둘 다 양수로 기여. 이제 평균 가능. 그 평균이 *분산*.

근데 분산은 단위가 이상해 (수익률 제곱 — 뭐?). 그래서 제곱근 씌워 정상 단위로 돌아가. 그게 *표준편차*. 표준편차 = √분산. 같은 흔들림, 정상 단위.

그 산수에 겁먹지 마. 그림은 띠. 넓은 띠 = 큰 σ = 더 큰 흔들림. 그게 가져갈 유일한 거.

이게 어디서 금융이 되나

변동성 — 금융에서 끊임없이 듣는 단어 — 는 그냥 수익률의 표준편차. 같은 거, 다른 이름. CNBC 가 *"VIX 가 25"* 하면, 시장의 기대 연환산 변동성 (σ) 이 25% 라는 뜻. 앞으로 더 넓은 띠.

여기가 OOP 다형성 작동하는 자리. *흔들림* base class — 분산, 표준편차, σ — 이 금융 곳곳에서 특수화돼:

• 트랙 3 에선 σ 가 한 주식의 변동성
• 트랙 7 에선 듀레이션이 금리 움직일 때 채권이 얼마나 흔들리나 측정
• 트랙 8 에선 σ 가 옵션 가격 결정의 input (Black-Scholes)
• 트랙 9 에선 β (베타) 가 한 주식의 흔들림을 *시장의 흔들림에 대비* 측정

이 모두가 다 *흔들림* 이 다른 옷 입은 거. 띠 그림 잡고 있으면, 나머지는 명명 컨벤션일 뿐.

핵심

평균은 어디 있는 경향이 있는지 알려줘. 분산 (또는 σ, 그 제곱근 친척) 은 그 중심 주위로 얼마나 넓게 퍼져 있는지. 평균은 선. 분산은 띠 폭. 금융 나머지의 대부분이 이 두 개념의 어떤 특수화.