확률과 조건부 확률, 그리고 베이즈 맛보기

70%라는 말이 담는 것

‘내년 경기침체 확률 70%’, ‘시장이 금리 인하 확률 90%를 반영한다’, ‘이 옵션이 내가격으로 끝날 확률 5%’ 같은 말을 자주 듣지.

확률은 0과 1 사이의 수, 또는 0%와 100% 사이의 퍼센트로 표현해. 0은 일어나지 않음을, 1은 반드시 일어남을 뜻해. 반복할 수 있는 사건에서는 장기적인 발생 빈도를 나타낼 수 있고, 한 번뿐인 사건에서는 가진 정보에 비춰 얼마나 그럴듯하다고 보는지를 나타내기도 해.

숫자가 소수점까지 정교하다고 예측까지 그만큼 확실한 것은 아니야. 누가 어떤 자료와 가정으로 추정했는지 함께 봐야 해.

확률과 보상을 한 저울에 올리는 기댓값

공정한 동전을 던져 앞면이면 $20을 받고 뒷면이면 $10을 잃는 제안을 받았다고 하자.

앞면이 주는 몫은 0.5 × $20 = $10, 뒷면이 주는 몫은 0.5 × (−$10) = −$5야. 둘을 더한 $5가 한 판의 기댓값이야.

각 결과의 확률에 그 결과의 보상을 곱하고 모두 더하면 돼. 기댓값이 양수인 게임을 충분히 많이 반복하면 평균적으로 앞설 가능성이 커. 다만 현실에서는 한 번의 큰 손실을 감당할 수 있는지와 위험선호도도 함께 봐야 해.

정보를 붙이면 확률이 달라진다

‘내일 주가가 오를 확률’보다 ‘오늘 미 연준이 금리를 내렸다는 조건에서 내일 주가가 오를 확률’이 더 구체적이야. 어떤 정보가 주어진 상태의 확률을 조건부 확률이라고 해.

P(stock up | Fed cut)에서 세로줄 |은 ‘미 연준이 금리를 내렸다는 조건에서’라고 읽어.

금융의 판단은 대부분 조건을 품고 있어. 실적 전망은 회사의 지침과 업황에 달려 있고, 채권가격은 시장의 금리 기대에 달려 있어. 옵션가격에서 읽어내는 내재변동성도 현재 가격과 모형의 가정을 조건으로 얻은 값이야.

새 증거로 믿음을 고치는 베이즈

처음 가진 판단을 사전확률이라고 하자. 새로운 증거가 들어오면 그 증거가 원래 가설과 얼마나 잘 맞는지 따져 판단을 고쳐야 해. 이 갱신을 정확히 적은 식이 베이즈 정리야.

NVIDIA의 실적이 나오기 전에 ‘예상을 웃돌 확률이 절반’이라고 봤는데 실제로 큰 폭의 초과실적이 나왔다고 해보자. 이 증거는 사업이 건강하다는 판단을 높일 수 있어. 얼마나 높여야 하는지는 건강한 회사에서도, 건강하지 않은 회사에서도 이런 실적이 나올 가능성을 함께 알아야 계산할 수 있어.

식을 외우기보다 뜻을 잡아. 베이즈 정리는 새 정보가 들어왔을 때 기존 믿음을 얼마나 고쳐야 하는지 알려주는 산수야.

투자 주장은 확률을 숨기고 있다

• ‘이 주식은 저평가됐다’는 말에는 미래 현금흐름과 가격 회복에 대한 확률 판단이 들어 있어.
• ‘경기침체 위험이 커졌다’는 말은 여러 조건 아래의 가능성을 비교한 결과야.
• 옵션가격은 모형 안에서 가능한 미래 보상을 확률로 가중한 현재가치와 연결돼.
• 베이지언 투자자는 새 자료가 들어올 때 자신의 판단을 명시적으로 고쳐.

손으로 베이즈식을 풀지 못해도 괜찮아. 투자 의견을 들을 때 ‘어떤 확률을 암묵적으로 주장하는가?’, ‘이 증거가 내 판단을 얼마나 바꿔야 하는가?’라고 묻는 습관이 더 중요해.

가져갈 핵심

확률은 가능성을 0과 1 사이에 놓은 수야. 조건부 확률은 정보가 붙은 가능성이고, 기댓값은 각 결과의 확률과 보상을 합친 값이야. 베이즈는 새 증거로 기존 판단을 갱신하는 규칙이고. 이 그림들은 트랙 8의 파생상품과 트랙 9의 포트폴리오에서 다시 쓰여.