공분산과 상관계수 — 두 자산의 흔들림이 만날 때

각자 얼마나 흔들리는지만으로는 부족하다

자산 하나의 흔들림은 변동성 σ로 볼 수 있어. 하지만 두 자산을 함께 담았을 때의 흔들림은 각자의 σ뿐 아니라 둘이 같은 때 같은 방향으로 움직이는지에도 달려.

• 둘이 늘 함께 오르고 함께 내리면 한 바구니를 둘로 나눈 것과 비슷해서 위험이 거의 줄지 않아.
• 하나가 오를 때 다른 하나가 내리는 경향이 있으면 서로의 움직임이 일부 상쇄돼.

이 동행의 방향과 크기를 먼저 공분산으로 재고, 비교하기 쉽게 표준화한 값이 상관계수야.

평균에서 벗어난 방향을 곱한다

각 시점마다 A의 수익률이 A의 평균에서 얼마나 벗어났는지, B도 얼마나 벗어났는지를 구해 둘을 곱해봐. 둘 다 평균보다 높거나 둘 다 낮으면 곱은 양수고, 반대편에 있으면 음수가 돼. 이 곱의 평균이 공분산이야.

공분산이 양수면 같은 방향, 음수면 반대 방향으로 움직이는 경향을 뜻해. 0에 가깝다면 선형적인 동행관계가 약하다는 뜻이지. 무상관이 반드시 독립을 뜻하는 것은 아니야.

공분산은 두 자산의 변동성 크기와 단위에 영향을 받아 숫자만 보고 비교하기 어렵다는 단점이 있어.

−1과 +1 사이로 표준화하기

공분산을 두 표준편차의 곱으로 나눈 상관계수 ρ는 항상 −1과 +1 사이에 있어.

• ρ = +1: 두 수익률이 완벽한 양의 선형관계로 움직여.
• ρ = 0: 선형 상관이 없어. 다른 형태의 관계는 남아 있을 수 있어.
• ρ = −1: 두 수익률이 완벽한 음의 선형관계로 움직여.

상관은 기간과 시장환경에 따라 바뀌어. 예를 들어 미국 대형 기술주끼리는 약 0.7처럼 높은 값이 나타날 수 있고, 미국 주식과 국채는 시기에 따라 약 −0.2에서 +0.3 사이를 오가기도 해. 금과 주식은 0 근처나 약한 음의 상관을 보일 때가 있고, 서로 다른 업종의 중소형주는 약 0.3~0.5일 수 있어. 모두 고정 법칙이 아니라 표본에 따른 예시야.

포트폴리오에서 생기는 상쇄

포트폴리오 변동성은 개별 자산의 σ와 자산 사이의 상관을 함께 사용해 계산해. 변동성이 같은 두 자산을 반반 담았을 때 ρ = +1이면 분산효과가 없고, ρ = −1이면 이론상 흔들림을 완전히 상쇄할 수 있어. 현실은 대부분 그 사이에 있고, 다음 수업의 분산투자는 바로 그 틈에서 작동해.

OOP 식으로 보면 상관계수는 ‘흔들림’이 둘 사이의 관계로 특수화된 모습이야. 한 객체의 폭이 아니라 두 객체의 움직임이 어떻게 결합되는지를 말해주지.

가져갈 구분

공분산은 두 자산이 함께 움직이는 방향을 재고, 상관계수는 그 값을 −1과 +1 사이로 표준화해 비교하기 쉽게 만들어. +1에서 멀어질수록 두 자산을 섞었을 때 흔들림을 줄일 여지가 생겨.