연금 — 매달 받는 현금흐름의 산수

지금까지 단일 미래 지급을 할인했어. 근데 현실의 돈 대부분이 *흐름* 으로 들어와. 월급 매달. 모기지 상환 매달. 채권 쿠폰 6개월마다. 연금 매년. 각각 지급, 반복, 일정.

같은 간격에 같은 금액의 지급 흐름이 연금. 실제 길이나 금액이 뭐든, 규칙적이면 산수가 똑같이 작동.

적금이나 연금 plan 이 5년 동안 매년 ₩100 준다고 해, 전체 흐름이 오늘 얼마? 각 지급이 자기 PV 가져. 1년 차 ₩100 은 ₩100 / (1+r). 2년 차는 ₩100 / (1+r)^2. 그렇게.

총 PV 는 그냥 합:

P V = \frac{100}{1 + r} + \frac{100}{( 1 + r ) ^{2}} + \frac{100}{( 1 + r ) ^{3}} + \frac{100}{( 1 + r ) ^{4}} + \frac{100}{( 1 + r ) ^{5}}

그게 연금의 일반 결. 그냥 다섯 개 별 현재가치 더한 거. 마법 없어. 트랙 1 의 적분 lesson — 곡선 아래 면적, 합 — 이 그림이 정확히 이거의 이산 결.

수학자는 한 줄로 될 거를 다섯 줄 쓰는 거 싫어해. 위 합엔 닫힌 공식이 있어:

P V = C \times \frac{1 - ( 1 + r ) ^{- n}}{r}

여기서 C 는 기간당 지급, n 은 지급 횟수. 유도할 필요 없어. 외울 필요도 없어. 스프레드시트랑 계산기가 해줘 (함수는 보통 PV 또는 NPV). 필요한 건 그림: *동일 지급의 흐름, 각각 오늘로 할인, 합*.

예시. ₩100 매년 5년 5%:

P V = 100 \times \frac{1 - ( 1.05 ) ^{- 5}}{0.05} \approx 100 \times 4.329 \approx ₩432.95

그러니까 다섯 ₩100 지급의 흐름은 오늘 ₩500 아니라 ₩432.95. 각 미래 지급이 할인에 가치 좀 잃어; 멀수록 더 잃어.

알고 보면 연금 어디나:

모기지: 30년 동안 같은 월 상환. 은행이 오늘 큰 덩어리 줌 (대출); 너는 연금으로 갚아. 너의 미래 상환의 PV (은행 금리로) 가 빌린 금액과 같아야 해.
퇴직연금: 65세부터 죽을 때까지 (또는 정해진 기간) 매월 ₩X 받음. 오늘 가치로 얼마? 연금 산수.
채권: 쿠폰 채권은 1년에 두 번 정해진 이자. 쿠폰 흐름이 연금; 만기 액면가는 별 단일 PV. 트랙 7 이 다시 돌아와.
복권 지급: *"₩10억 상금, 매년 ₩5천만 × 20년 지급"*. 이 헤드라인이 할인 무시 — 실제 오늘 일시불 등가는 훨씬 작아.

연금은 그냥 *동일 지급의 합, 각 할인*. 닫힌 공식이 합 안 쓰게 줄임 — 새 물리 아니야. *시간에 걸친 정기 지급* 보면, *연금 → 각 지급 할인 → 합* 으로 번역. 그 그림이 거의 모든 TVM 문제에 충분.

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