만기가 없는 지급
해마다 ₩100을 주는데 끝나는 날이 없다면 어떨까? 이렇게 같은 금액이 영원히 이어지는 현금흐름을 영구연금이라고 해.
영국 정부가 과거에 발행한 콘솔채는 만기 없이 이자를 지급하는 대표적인 사례였고 2015년에 최종 상환됐어. 일부 우선주와 원금을 보존하며 수입만 쓰는 기금도 영구연금과 비슷한 구조로 볼 수 있어.
지급횟수가 무한하다고 현재가치까지 무한한 것은 아니야. 아주 먼 미래의 돈은 여러 번 할인되어 오늘 가치가 0에 가까워지기 때문이야.
세 글자로 끝나는 가치평가식
매 기간 말에 C를 지급하고 할인율이 r인 영구연금의 현재가치는
이야. 해마다 ₩100을 영원히 받고 할인율이 5%라면 P = 100/0.05 = ₩2,000이 돼.
지급액을 ₩200으로 두 배 늘리면 가격도 ₩4,000으로 두 배가 돼. 반대로 지급액은 ₩100 그대로 두고 할인율을 2.5%로 절반 낮춰도 가격은 ₩4,000으로 두 배가 돼. 미래 돈을 덜 깎을수록 현금흐름 전체의 오늘 가치가 커지는 거야.
가장 맑은 분자·분모 놀이
P = C/r은 트랙 1의 P = A/B와 똑같이 생겼어. 현금흐름 C가 분자이고 할인율 r이 분모야. 따라서 C가 커지거나 r이 작아지면 가격 P가 올라.
뒤에서 만날 Gordon Growth 모형은 여기에 성장을 더하고, 유한연금은 지급이 끝나는 시점을 더해. DCF는 시기마다 다른 현금흐름을 따로 할인하고, 가치평가 배수는 이 관계를 다른 변수로 표현해. C/r은 그 변형들을 알아보게 해주는 가장 단순한 뼈대야.
무한한 합이 유한해지는 까닭
지급액은 같아도 1년 뒤의 ₩100보다 50년 뒤의 ₩100이 훨씬 많이 할인돼. 멀어질수록 각 지급이 현재가치에 보태는 몫은 0에 가까워져.
유한연금식 PV = C × [1 − (1+r)^(-n)]/r에서 n을 무한히 키우면 (1+r)^(-n)은 0으로 다가가. 남는 값이 PV = C/r이야. 무한히 많은 항을 더해도 합이 유한한 값으로 수렴하는 모습이지.
현실을 단순하게 보는 근사
- 아주 오랫동안 안정적인 임대료를 내는 토지는 영구연금에 가깝게 볼 수 있어.
- DCF의 말기가치는 명시적 예측기간 뒤의 모든 현금흐름을 영구히 이어지는 것으로 근사하곤 해.
- 원금을 보존하고 운용수입만 계속 쓰는 기금도 이 구조를 참고해.
- 과거 영국의 콘솔채와 일부 우선주가 실제 사례에 가까워.
현실의 현금흐름은 완전히 영원하거나 일정하지 않으므로 가정이 맞는지 따져야 해. 영구연금은 현실을 압축해 보는 모형이지 자연법칙이 아니야.
가져갈 원형
영구연금의 가치는 P = C/r. 분자는 현금흐름, 분모는 할인율이야. 다음 수업에서는 여기에 성장률 하나를 더해 Gordon Growth 모형으로 확장할 거야.