끝나지 않는 연금
지급 흐름이 *영원히* 가면? 매년 ₩100, 매년, 만기 없음. 그게 영구연금. 영국 정부가 18세기에 이런 채권 발행 — *consols* 라 불렸고, 영원히 지급 (영국이 2015년에 폐지했지만 다른 이야기). 일부 우선주는 회사 있는 한 영원히 지급. 일부 기부금 펀드도 이 결로 작동.
산수가 놀랍게 단순. 연금은 유한한 n 필요; 영구연금은 n 이 무한대로. 무한 지급이면 무한 돈일 거 같지? 아니야 — 멀리 있는 지급은 너무 무겁게 할인돼서, 기여가 (사실상) 0 으로 쪼그라들어.
닫힌 공식: P = C / r
기간당 C 지급하는 영구연금, 할인율 r 일 때 현재가치:
글자 셋. 금융에서 가장 단순한 가치 평가 식. ₩100 영원히 5% 면? P = 100 / 0.05 = ₩2,000. 매년 ₩100 영원히 받는 무한 흐름에 누군가 오늘 줘야 할 가격.
지급을 ₩200 으로 두 배로 하면 가격도 ₩4,000 으로 두 배. 할인율을 절반인 2.5% 로 떨어뜨리면 가격도 두 배 (₩4,000). 말 돼: 싼 돈 (낮은 r) 이면 미래 지급이 덜 페널티 받으니, 총합이 오늘 더 가치.
이게 분자 분모 놀이의 가장 순수한 결
잠깐 멈추고 P = C / r 봐. 트랙 1 lesson 3 의 P = A / B 모양이야. C 가 분자. r 이 분모. P 는 C 가 커지면 또는 r 이 작아지면 커진다. driver 둘, 끝. thesis lesson 의 그림 그대로, 이제 구체 금융 변수로.
그리고 앞으로 볼 모든 가치 평가 식 — Gordon Growth, DCF, P/E 같은 배수 — 다 영구연금에 부속 좀 더 단 거야. P = C/r 이 뼈대. 성장 추가하면 Gordon. 유한 년 추가하면 연금. 현금흐름 흐름을 다른 기간으로 쪼개면 다단 DCF. 근데 뼈는 이 한 식.
왜 작동 — 산수 직관
왜 무한 지급이 무한대로 안 더해져? 멀리 있는 각 지급이 또 다른 (1+r) 인자로 할인되니까. 충분히 많은 해 후엔 할인 인자가 너무 커서 그 지급의 기여가 사실상 0.
수학적으로, 연금 공식 PV = C × [1 − (1+r)^(-n)] / r 에서 n → ∞ 가면 항 (1+r)^(-n) 이 0 으로. 남는 거? PV = C × 1 / r = C/r. 무한 급수가 유한 수로 수렴. 트랙 1 lesson 8 의 극한 개념이 조용히 일하는 자리.
실제 예
순수 영구연금은 실제 드물어 (대부분 결국 끝남). 근데 모델은 *근사* 로 유용:
- 매년 안정 임대료 내는 땅 — 영구연금 가까움 (땅이 만기 없음).
- *영원히* 운영되는 회사 — DCF 모델의 terminal value 가 명시 예측 시계 너머의 모든 거에 영구연금 공식 사용.
- 매년 수입만 쓰고 원금은 절대 안 쓰는 기부금 펀드.
- 옛 영국 consols (위에서 언급) 과 일부 우선주.
핵심
영구연금이 가장 단순한 가치 평가. P = C / r. 분수 하나로 연결된 글자 둘. 분자 분모 놀이의 가장 순수한 결. 또 앞으로의 모든 결의 씨앗 — 다음 lesson 의 Gordon Growth 가 문자 그대로 한 번의 조정 거리에 있어. 박아 둬: P = C / r 이 prototype. 나머지는 변형.