한 돈을 두 시점에서 부르는 이름
오늘 놓인 돈의 가치를 현재가치(PV), 미래 시점에 놓인 돈의 가치를 미래가치(FV)라고 해. 서로 다른 돈이 아니라 시간축의 양 끝에서 바라본 같은 돈이야.
오늘의 돈을 미래로 보내려면 기간마다 이자를 붙여.
PV는 출발금액, r은 한 기간의 수익률, n은 기간 수야. 한 기간 뒤에는 1+r배, n기간 뒤에는 (1+r)^n배가 돼. 트랙 1에서 본 지수가 시간축 위에서 일하는 모습이지.
같은 화살표를 거꾸로 읽기
미래가치 FV를 알고 오늘의 가치 PV를 구할 때는 첫 수업의 시소를 떠올려. 등식의 양쪽을 (1+r)^n으로 나누면 돼.
이것이 할인이야. 할인율 r이 높을수록, 기다리는 기간 n이 길수록 분모가 커져서 현재가치는 작아져. 분자와 분모의 그림이 시간가치에서도 그대로 작동해.
₩1,000을 앞뒤로 옮겨보자
오늘 ₩1,000을 연 5%로 10년 굴리면
FV = 1000 × (1.05)^10 ≈ 1000 × 1.629 ≈ ₩1,629야. 처음보다 약 63% 늘었어.
반대로 10년 뒤 받을 ₩1,629를 연 5%로 오늘에 가져오면
PV = 1629 / (1.05)^10 ≈ 1629 / 1.629 ≈ ₩1,000이 돼. 두 공식을 따로 외운 것이 아니라 같은 관계를 정방향과 역방향으로 읽은 거야.
금리와 시간이 함께 만드는 비선형
오늘의 ₩1,000을 여러 조건에서 굴려보자.
- 5%로 10년 → ₩1,629, 배수 1.629
- 10%로 10년 → ₩2,594, 배수 2.594
- 5%로 20년 → ₩2,653, 배수 2.653
- 10%로 20년 → ₩6,727, 배수 6.727
금리나 기간을 두 배로 했다고 결과가 단순히 두 배가 되지는 않아. 5%·10년을 기준으로 금리만 두 배로 하면 약 1.59배, 기간만 두 배로 하면 약 1.63배가 돼. 둘을 함께 두 배로 하면 약 4.13배까지 커지고. 복리는 직선이 아니라 지수로 움직이므로 금리와 시간이 서로의 효과를 증폭해.
가져갈 한 식
FV = PV × (1+r)^n은 오늘의 돈을 미래로 보내고, PV = FV/(1+r)^n은 미래의 돈을 오늘로 데려와. 연금과 영구연금, Gordon Growth 모형도 이 관계 위에서 자라나. 현재가치와 미래가치는 (1+r)^n이라는 시간의 배수로 연결된다.