~12 min · blackstone, asymmetry, type-i, type-ii, courtroom
Level 0통계 초심자
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"한 명의 무고한 사람이 고통받는 것보다 열 명의 죄 있는 사람이 달아나는 편이 낫다." 숫자 열보다 중요한 건 오류의 무게가 대칭이 아니라는 선언이야.
Blackstone이 남긴 문장
18세기 영국 법학자 William Blackstone은 Commentaries on the Laws of England에서 훗날 'Blackstone ratio'라고 불리게 된 격언을 남겼어. 비슷한 생각은 그보다 오래된 법사상에도 있었지만, 그의 표현이 보통법 전통의 대표 문장이 됐지.
여기서 10:1을 실측된 교환비율로 읽으면 안 돼. 열 명까지는 괜찮고 열한 명부터는 안 된다는 규칙도 아니고, 무고한 사람의 피해가 정확히 열 배라는 비용함수도 아니야. 이 문장은 국가가 무고한 사람을 처벌하는 오류를 특별히 경계해야 한다는 규범적 우선순위를 강하게 표현해.
Type I과 Type II로 읽을 수 있는 부분
가설검정의 언어를 빌리면, 무고한 사람을 유죄로 만드는 오류와 죄 있는 사람을 놓치는 오류 사이에 같은 무게를 두지 않는다는 뜻을 볼 수 있어. 높은 증명책임과 무죄추정은 전자의 위험을 줄이는 방향으로 작동하고, 그 대가로 후자의 가능성을 어느 정도 받아들여.
하지만 여기서 비용기호를 붙여 C_I = 10 × C_II라고 쓰거나, 그 식으로 최적 α를 계산하면 Blackstone이 말하지 않은 수학을 발명하는 셈이야. 실제 법제도는 피해의 크기뿐 아니라 국가권력의 정당성, 절차적 권리, 판결의 회복 가능성, 차별과 수사오류 같은 여러 가치를 함께 다뤄.
격언이 던지는 시민의 질문
범죄에 대한 공포가 커지면 절차를 줄이고 유죄판결을 쉽게 하자는 압력이 생겨. 그때 Blackstone의 문장은 제안의 반대편 비용을 보게 해. 더 많은 유죄판결 중 얼마가 무고한 사람에게 떨어질까? 한번 빼앗긴 자유와 명예는 나중에 얼마나 회복할 수 있을까? 국가가 저지른 오류를 누가 발견하고 고칠까?
유지할 원칙
Blackstone의 격언은 통계 공식이 아니라 법의 가치선언이야. 그래도 통계적 오류의 렌즈를 대면 그 선언의 구조가 보인다. 두 종류의 오류가 있고, 형사법은 그중 무고한 사람을 처벌하는 오류를 더 무겁게 경계한다. 숫자를 가짜로 정밀하게 만들지 않으면서도 비대칭을 또렷하게 보는 것, 그게 이 레슨의 기술이야.
Code
Blackstone 비율 → 최적 임계 → 억울한 유죄율·python
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(170)
# 다른 Blackstone 비율에 대한 '최적' 임계 계산.
# 기소자의 5% 가 무고, 증거 분포 이전과 같음.
N = 100_000
p_innocent = 0.05
is_innocent = rng.random(N) < p_innocent
evidence = np.where(
is_innocent,
rng.normal(0.4, 0.2, N),
rng.normal(0.85, 0.15, N),
).clip(0, 1)
print("다른 비용 가중치 → 다른 최적 임계")
print(" (Type I 비용) : (Type II 비용) → 최적 임계 → 결과 Type I 율 (유죄 중 %)")
print("-" * 90)
for ratio in (1, 2, 5, 10, 20, 100):
# 가중 총 비용 최소화 임계 brute-force 검색.
best_cost = float('inf')
best_thr = None
for thr in np.linspace(0, 1, 101):
convicted = evidence > thr
type_I = (convicted & is_innocent).sum()
type_II = (~convicted & ~is_innocent).sum()
cost = ratio * type_I + type_II
if cost < best_cost:
best_cost, best_thr = cost, thr
convicted = evidence > best_thr
type_I = (convicted & is_innocent).sum()
rate = type_I / max(convicted.sum(), 1) * 100
print(f" {ratio:>3}:1 → thr={best_thr:.2f} → {rate:5.2f}% 억울한 유죄율")
# Blackstone 비율이 오를수록 (Type I 이 더 비싸게 다뤄짐),
# 유죄 최적 임계가 오르고, 억울한 유죄율이 떨어짐.
# 10:1 비율이 대략 보통법이 운영 점으로 선택한 것.