비대칭 분포: 평균과 중앙값이 갈라질 때

"비대칭 분포에서는 평균과 중앙값이 서로 다른 장면을 보여줘. 어느 숫자가 거짓인지보다 어떤 질문에 답하는지 물어봐."

비대칭이란

분포의 한쪽 꼬리가 다른 쪽보다 길거나 무거우면 비대칭이라고 해.

오른쪽 비대칭: 큰 값 쪽으로 긴 꼬리가 있어. 소득, 대기시간, 파일크기에서 흔히 볼 수 있어.
왼쪽 비대칭: 작은 값 쪽으로 긴 꼬리가 있어. 쉬운 시험에서 점수가 상한 근처에 몰리고 낮은 점수 쪽으로 꼬리가 생기는 경우가 예야.

오른쪽 비대칭에서는 평균이 중앙값보다 큰 경우가 많고, 왼쪽 비대칭에서는 반대인 경우가 많아. 하지만 이 순서는 분포의 세부 모양에 따라 예외가 있을 수 있으니 정의처럼 외우지는 마.

평균과 중앙값의 역할

평균은 모든 값을 더해 개수로 나눈 균형점이라 극단값에 민감해. 중앙값은 순서상 가운데 값이라 극단값의 크기에 덜 민감하지. 전형적인 가구소득이나 대기시간을 설명할 때 중앙값이 더 직관적일 수 있어.

그렇다고 평균이 거짓말은 아니야. 총소득을 인구수로 나누거나 기대비용을 계산할 때 평균이 정확히 필요한 숫자야. 실제 관측값 중 누구도 평균과 같지 않아도 평균은 의미가 있어. 질문이 "가운데 사람은?"인지 "전체를 균등하게 나누면?"인지 구분해야 해.

하나의 대표값으로 끝내지 마

비대칭 자료에서는 평균과 중앙값을 함께 보고 사분위수와 상위백분위도 확인해. 평균만으로 전형을 말하는 것도, 중앙값 하나만으로 총량과 집중을 말하는 것도 부족해. 대표값을 선악으로 나누지 말고 각 숫자의 질문을 밝혀.

자산분포를 읽을 때

가구자산은 대개 오른쪽으로 심하게 비대칭이고 상위집단의 보유비중이 커. 그래서 평균 순자산은 중앙가구의 순자산보다 훨씬 클 수 있어. 다만 이 사실만으로 전체 분포가 하나의 멱법칙이라고 확정할 수는 없어. 평균, 중앙값, 분위별 보유비중, 부채와 표본설계를 함께 봐야 해.

Code

Lognormal '소득' 의 평균 vs 중앙값·python

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(11)

# 가상 right-skewed '소득' 데이터 — lognormal 이 교과서 모델.
N = 50_000
income = rng.lognormal(mean=10.5, sigma=0.9, size=N)   # 한 나라의 통화 단위

print(f"중앙값 소득:        {np.median(income):>12,.0f}")
print(f"평균 소득:          {np.mean(income):>12,.0f}")
print(f"상위  1% 임계:       {np.quantile(income, 0.99):>12,.0f}")
print(f"상위 0.1% 임계:      {np.quantile(income, 0.999):>12,.0f}")
print(f"최대:               {np.max(income):>12,.0f}")

# 평균이 편안하게 중앙값보다 큼.
# 상위 0.1% 임계가 우스울 정도로 중앙값보다 큼.
# '평균 소득이 X' 라는 헤드라인은 기술적으로 참, 실제로 호도.
# 중앙값이 시민에게 정직한 숫자.

Exercise

평균을 인용한 기사 하나를 골라 같은 자료의 중앙값과 상위 10% 비중을 찾아봐. 세 숫자가 각각 어떤 질문에 답하는지 적고 기사 문장이 어느 숫자를 필요로 하는지 판단해.

Hint

평균/중앙값 비율에 보편적인 어림셈은 없어. 같은 정의와 기준연도의 실제 자료를 찾아.

비대칭이란

평균과 중앙값의 역할

하나의 대표값으로 끝내지 마

자산분포를 읽을 때

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