정규분포: 다들 얘기하는 그 종 모양

"종 모양은 강력하고 익숙해. 그래서 자료가 허락하지 않은 곳까지 데려가기 쉬워."

정규분포의 모양

정규분포는 평균 μ와 표준편차 σ 두 모수로 정해지는 연속분포야. 평균을 중심으로 완전히 대칭이고, 평균·중앙값·최빈값이 같아. σ가 작으면 좁고 높고, σ가 크면 넓고 낮아지지만 곡선 아래 전체 면적은 언제나 1이야.

중심극한정리가 말하는 정확한 범위

중심극한정리는 일정한 조건 아래에서 많은 확률변수의 합이나 평균을 적절히 중심화하고 스케일링했을 때 그 분포가 정규분포에 가까워진다고 말해. 원래 변수 하나가 자동으로 정규분포가 된다는 뜻도, 작은 요인이 많기만 하면 언제나 종 모양이 된다는 뜻도 아니야.

고전적 형태는 독립성과 유한분산 같은 조건을 쓰지만, 약한 의존을 허용하는 다른 버전도 있어. 수렴속도는 원래 분포의 비대칭과 꼬리에 따라 달라지고, 유한한 표본의 꼬리에서는 근사가 좋지 않을 수 있어. 성인 키나 측정오차가 대략 정규처럼 보이는 현상을 CLT와 연결할 수는 있지만 그것만이 유일한 설명이라고 단정하지 마.

68–95–99.7 규칙

정규분포에서는 다음 어림셈이 성립해:

약 68%가 평균에서 ±1σ 안에 있어.
약 95%가 ±2σ 안에 있어.
약 99.7%가 ±3σ 안에 있어.

이 규칙은 분포가 정말 정규에 가까울 때만 해석력이 있어. 5σ나 6σ 관측이 예상보다 자주 나오면 꼬리분포, 시간에 따라 변하는 변동성, 의존성, 자료오류와 다중검정까지 함께 점검해야 해. "정규분포가 아니네. 끝"보다 모델 전체를 진단하는 게 맞아.

미리 보는 함정

정규분포는 동물원의 한 동물이지 모든 자료의 기본 몸체가 아니야. 소득, 금융수익률, 네트워크 트래픽, 지진 같은 자료는 비대칭·의존성·두꺼운 꼬리를 보일 수 있어. 하지만 각 자료가 정확히 어떤 분포를 따르는지는 후보모형을 비교하고 진단해야 해. 트랙 07에서 이 절차를 실제 사례에 적용할 거야.

Code

68-95-99.7 규칙, 시뮬레이션·python

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(8)

# 평균 100, std 15 인 정규에서 10만 샘플 (IQ 스타일).
x = rng.normal(loc=100, scale=15, size=100_000)

# 68-95-99.7 규칙, 경험적으로 확인.
for k in (1, 2, 3, 4, 5):
    within = ((x > 100 - k * 15) & (x < 100 + k * 15)).mean()
    print(f"{k} sigma 안: {within:.4f}   (예상 ~{[0.6827, 0.9545, 0.9973, 0.99994, 0.999999][k-1]:.4f})")

# 꼬리가 얼마나 빨리 얇아지는지 봐.
# 정규의 5-sigma: 백만에 약 6번. 실제 두꺼운 꼬리 데이터에서는
# 만 명에 6번처럼 일어날 수도 있어. 종이 위 같은 숫자, 현실에서는 엄청 다른 의미.
# 이걸 오독하는 게 트랙 07 의 씨앗이야.

Exercise

정규분포에 가까울 것 같은 실제 자료 하나를 골라 히스토그램, Q-Q 그림, 시간순서를 확인해봐. 중심부와 꼬리에서 각각 얼마나 맞는지, 관측들이 독립적인지도 적어.

Hint

모양이 종처럼 보이는지만 보지 마. 시간에 따라 평균과 분산이 바뀌는지, 꼬리에 이상치가 몰리는지도 확인해.

정규분포의 모양

중심극한정리가 말하는 정확한 범위

68–95–99.7 규칙

미리 보는 함정

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